Espace affine de matrice

[invite8d54258a]

Bonsoir, une petite question dont je ne vois absolument pas comment m'en sortir :
déterminer la direction du sous espace affine engendré par les matrices de permutations de .

Les matrices sont les suivantes :

On veut donc décrire le sous-espace affine engendré par la partie . C'est par définition , on a le choix de l' "origine" ou n'importe quel autre point de ).

J'espère ne pas me tromper dans les définitions. J'ai du mal à décrire .

Help please
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[KerLannais]

Salut,

Décrire la direction d'un sous-espace affine, c'est en donner une base par exemple. Tu peux constater que

ainsi la famille des qui est génératrice de la direction par définition n'en est pas une base puisqu'elle n'est pas libre, il suffit d'en extraire une sous-famille libre.

[invite8d54258a]

Comment avez-vous exhiber une telle combinaison linéaire nulle et non trivial ? Je n'arrive précisément pas à en trouver une base. Peut-on décider à l'avance de la dimension d'un tel espace vectoriel ?

[sylvainc2]

Tu n'as qu'à considérer chaque matrice 3x3 comme un vecteur à 9 composantes et de faire un pivot de gauss sur eux. On voit qu'à la fin il y a un seul vecteur dépendant. Donc pour une base, tu peux prendre 5 des 6 matrices.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8d54258a]

Un vecteur à 9 composantes, c'est quand même très couteux en calcul ! Par ailleurs, autre chose : les sont des points, non ? Pour trouver une base, je prend des vecteurs de type en faisant la différence de deux matrices ?

Une base est donc par exemple ?

[sylvainc2]

Chaque Ai est un vecteur car c'est un élément d'un espace vectoriel (enfin, d'un espace affine mais bon). Pour la base tu peux prendre donc A1,A2,A3,A4,A5.

Et pour le calcul, c'est pas si long car chaque vecteur à 9 composantes a six zéros, et trois 1.