sous-espace affine

[christophe_de_Berlin]

Bonjour, j´ai un exo sur les sous-espaces affines où j´aimerais m´assurer que j´écris pas des âneries vu que c´est pas mon fort. De plus ya une petite question non résolue
Voilà le texte:

A est une matrice à m lignes et n colonnes à coefficients dans K et B un vecteur colonne de K^m. Soit la partie de Kⁿ définie par:

= {X Kⁿ ; AX = B}

Expliquer pourquoi est un sous-espace affine. Quelle est sa direction? Quand est-il vide? Exprimer sa dimension à l´aide du rang r de la matrice A.

Bon je procède comme ça: en fait A est associée à une application linéaire f de Kⁿ vers K^m, et =f^-1(B). Or si l´on considère l´espace vectoriel K^m comme un espace affine (tout espace vectoriel est un espace affine de direction lui-même), alors B, comme tout point de K^m, est un sous-espace affine (de dimension 0) de l´espace affine K^m.
De plus f peut être vue comme une application affine et l´image réciproque d´un sous-espace affine étant un sous-espace affine, on peut en déduire que est un sous-espace affine de Kⁿ, sa direction étant alors ker(f) c´est à dire:
F = {X Kⁿ ; AX = 0}

La dimension de est par définition celle de F, c´est à dire celle de Ker(f). Avec le théorème du rang on a alors:

n = r + dim(F).

Bizarrement, la seule question qui me pose problème, c´est... Quand est-il vide? euh j´ai pas d´idée.

Merci de vos suggestions.

Christophe
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[invite986312212]

ça ne m'a pas l'air d'être des âneries...
F est la préimage de {B} par A donc si B n'est pas dans l'image de A...

[christophe_de_Berlin]

F est la préimage de {B} par A donc si B n'est pas dans l'image de A...

Oui évidement! je savais intuitivement que c´est une question simple
Merci