Projection sur un espace affine de polynômes.

[invite8495f3d8]

Bonjour.
Je me creuse la tête sur un exercice et je bloque !
On définit sur le produit scalaire produit de l'intégrale entre 0 et 1, et la famille de polynômes (dérivée -ième), . J'ai montré par intégrations par parties que c'était une BON. On me demande où est l'ensemble des polynômes de dont le coefficient en vaut .

Mes idées : est un hyperplan affine de , précisément . Ce qu'on me demande vaut la norme du projeté orthogonal de (polynôme nul) sur , ou encore , sachant que si . J'ai essayé de décomposer sur la base canonique ou bien sur la base des mais sans trop de résultats.
Avez-vous des idées ? Merci mille fois, je désespère sur cet exo que je recherche à fond depuis pas mal de temps sans trouver personne qui me fasse progresser ! Merci.
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[invite8495f3d8]

Petite correction, la famille des est orthogonale et non orthonormale, ça ne change pas grand chose !! Help !

[inviteaf1870ed]

Une idée : tu écris ton polynôme de F sous la forme X^k+Q(X), dont le carré vaut X^2k+2X^kQ(X)+Q²(x)
L'intégrale entre 0 et 1 est minimum pour Q(x)=0 ....

[invite8495f3d8]

"L'intégrale entre 0 et 1 est minimum pour Q(x)=0 ...."

Ca ne me parait pas clair ! Le polynôme Q peut avoir une composante négative dans le terme en ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

oui je suis d'accord

si on considère que ton intégrale I est fonction de c₀,c₁ ... c_k-1, c_k+1 ... c_n (les coefficients de ton polynôme) et qu'on pose que si I est min alors le gradient de I est nul on a plein de jolies égalités






donc on a

[invite8495f3d8]

Merci de vos réponses !
Tout à fait d'accord avec toi, acx. On obtient des systèmes similaires, en exprimant simplement l'orthogonalité de avec tous les , . Mais déjà ils ne sont pas pratiques... mais en plus après il faut se calculer !!!

[invite8495f3d8]

J'avais fait une tentative pour rien :

1) on cherche où est le projeté orthogonal de 0 sur ,

2) on a par définition pour tout , ,

3) on déduit par linéarité à gauche puisque ,

4) on décompose
sur la base orthoGONALE des , ,

5) puis , la somme ne portant que jusq'à puisqu'un calcul (par IPP) donne si .

6) puis, étant donné que (la base des , est orthoGONALE), et que pour tout , , il reste si et où est le coefficient en de , d'où l'on conclut que ,

7) ce qui fournit finalement car hélas tout se simplifie !!! C'était pourtant pas trop mal parti !!

C'est reparti...

[invite113bc2e8]

Salut à tous,

premier post, pour un exo dur, c'est cool .
La méthode d'acx est pas mal mais je suis pas sûr qu'elle aboutisse vu la complexité du système. En fait il y a une erreur dans ton calcul de .
Dans la dernière égalité de la première ligne, ce n'est pas mais vu que tu dérives par rapport à et non par rapport à X. Ce qui enlève la solution triviale et rend le truc impossible à résoudre à la main ou alors tellement compliqué que ça m'ôte toute envie d'essayer.

J'ai essayé de passer de la base canonique de E à la base des (je me suis peut-être trompé dans les calculs).
Soit P un polynôme de E qu'on écrit sous la forme:
On cherche à minorer la quantité: sachant que .

On calcule donc les en fonction des . Et pour faire ça, on a besoin de
Par intégration par parties, on montre que est nul pour i strictement plus petit que j.
On en déduit que:

Et finalement,
Maintenant, on cherche à minorer cette quantité sur l'ensemble des réels avec .
C'est un système triangulaire, et on voit que toutes les quantités sont positives. On peut donc minorer le tout terme à terme.

Et là faut que j'y aille, je finirai ce soir.
@+

[acx01b]

salut, une petite idée en plus

si on pose
on a minimal quand

ce qui permet de rajouter à mon système que (oulala j'ai du me tromper mais l'idée y est )

en effet merci rems75 pour l'erreur dans la dérivée partielle

[invite8495f3d8]

Je te suis bien, rems75 (je n'ai pas eu le courage de poser les systèmes !!), mais je ne vois pas encore ton argument de minoration terme à terme...

[acx01b]

salut

mon dernier post était stupide l'équation pour le coeffient constant on l'a déja (et mon premier contenait une grossière erreur : )) mais finalement j'ai bien un système de n équations à n inconnues, donc même s'il y a peut-être une solution analytique pour l'inversion de la matrice, on peut calculer avec matlab (result c'est la valeur de l'intégrale) :

k = 4, n = 4, result = 0.00248525
k = 4, n = 5, result = 2.54133e-005
k = 4, n = 6, result = 8.6316e-007
k = 4, n = 7, result = 5.57046e-008
k = 4, n = 8, result = 5.47365e-009
k = 4, n = 9, result = 7.28413e-010
k = 4, n = 10, result = 1.22244e-010
k = 4, n = 11, result = 2.47626e-011
k = 4, n = 12, result = 9.4808e-012
k = 4, n = 13, result = 7.77803e-012
k = 4, n = 14, result = 7.28436e-012

[invite8495f3d8]

Un soop (un ami a trouvé le même exo... hélas sans la correction !! ). L'inf en question vaudrait ... Ca peut peut être aider !