convergence d'une suite de matrice

[invite20890e0d]

Bonsoir à tous,
je n'ai aucune idée de la façon dont je pourrais procéder pour résoudre (et même entamer...) l'exercice suivant :
Soit A une matrice réelle telle que 3A²=^tA+A+I_n. Montrer que la suite (A^p) converge.
J'ai éssayé de voir s'il n'y avait pas une relation entre les puissances de A permettant de conclure mais je n'en ai pas trouvé... Si l'un d'entre vous pouvais e donnr une idée, ça m'aiderais bien...
J'ai juste remarqué que A² est symétrique réelle donc diagonalisable mais pour l'instant je n'ai rien pu en tirer...
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[Tiky]

Bonjour,

Une méthode calculatoire qui fonctionne sans doute.
- Prouve qu'ils existent quatre suites réelles telles que :


Pour cela, il suffit de construire les suites en question par récurrence. Tu peux alors construire une matrice M d'ordre 4
telle que :


Avec un peu de chance, M sera diagonalisable et tu pourras facilement calculer et en déduire que les
quatre suites sont convergentes.

(Note : pour la diagonalisable, il suffit de montrer que les valeurs propres de M sont de module inférieur à 1 pour conclure).

[Tiky]

Non en fait ça ne fonctionne pas parce que la matrice transposée de A ne commute pas avec A...

[invite20890e0d]

Bonjour, merci de ta réponse je n'ai pas encore eu le temps de regarder ta solution mais pour ton deuxième message, comme la transposée de A est un polynome en A les deux matrices commutent.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Bonjour,

Une méthode calculatoire qui fonctionne sans doute.
- Prouve qu'ils existent quatre suites réelles telles que :


Pour cela, il suffit de construire les suites en question par récurrence. Tu peux alors construire une matrice M d'ordre 4
telle que :


Avec un peu de chance, M sera diagonalisable et tu pourras facilement calculer et en déduire que les
quatre suites sont convergentes.

La méthode fonctionne effectivement bien, en utilisant la remarque de art17. Si je ne me suis pas trompé, les valeurs propres de M sont 1, -1/3 et . On en déduit donc bien la convergence (pour déterminer la limite, il faudrait diagonaliser explicitement M, j'avoue ne pas avoir eu le courage de faire les calculs...).

(Note : pour la diagonalisable, il suffit de montrer que les valeurs propres de M sont de module inférieur à 1 pour conclure).

Attention aux valeurs propres égales à -1.

[Tiky]

Oui effectivement il faut faire attention à la valeur propre -1. J'ai fait les calculs rapidement et elle n'apparaît pas . Sinon c'est la matrice inverse qui est un polynôme en A et non la matrice transposée.

Pour la commutation avec la matrice transposée, le pire c'est que j'avais utilisé le fait que c'était un polynôme pour commuter deux minutes avant... bref ça n'a aucune importance en fait car on peut s'en passer.