Convergence d'une suite

[invite9e8a1319]

Bonsoir à tous,
Donc voila je suis en train de faire le bac S de pondichéry 2009 et j'ai bloqué sur une question, particulièrement sur le corrigé (pris sur 2amath).
Voila l'énoncé :
On a f(x) = xe(-x²)
En partie B on considère la suite Un = Intégrale de Un à Un+1 de f(x)
On démontre que f(n+1)< Un < f(n)
On démontre ensuite qu'elle est décroissante car (fn+2) < Un+1 < f(n+1).
Et voila, la on me demande de prouver que la suite est convergente. Puis de trouver sa limite.
Je trouve cette question pas normal, car pour prouver qu'une suite est convergente on doit trouver sa limite non ? Et la ils me demandent de le faire à l'envers
Quand je regarde le corrigé, ils écrivent tout simplement que la suite Un est convergente car elle est décroissante et qu'elle est minorée par 0 (car f(n+1) < Un et f est une fonction positive sur [2 ; + linfini[ )
Je comprend pas leur raisonnement pour démontrer qu'elle est minorée en 0.
Pour plus de clareté vous pouvez aller à cette adresse :
http://www.2amath.fr/examen-sujet.php

Voila pour moi démontrer qu'une suite est minorée passe par trouver sa limite, j'ai raison non ?

Merci d'avance !
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[invite9a322bed]

C'est un théorème vu en cours, suite minorée, décroissante converge. (théorème de convergence monotone).

[invite9e8a1319]

Bon ba je viens de re regarder mon cours dans le livre cette fois, et elle est bien minorée car la définition dit:
Une suite est minorée s'il existe un réel m inférieur à tous les termes de la suite, donc tel que, quel que soit n E N, on ait Un > m.
Or la on a bien (fn+1) < Un.
Donc elle est minorée, mais j'ai toujours pas compris comment il trouve qu'elle est minorée en 0. D'aprés eux c'est parce que la suite est positive sur [2 ; + l'infini [ (2 car Un avec n> 2)

[invitec317278e]

si la suite est positive, on peut effectivement parier sur nos chances de la voir assez souvent supérieure à 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9e8a1319]

Oui mais le fait qu'elle soit supérieur à 0 veut forcement dire qu'elle est minorée par 0 ? Je veux dire par la que si par exemple la limite d'une suite décroissante est 4, elle sera minorée par 4 mais aussi par les tous chiffres inférieur à 4 ?

[Flyingsquirrel]

Oui mais le fait qu'elle soit supérieur à 0 veut forcement dire qu'elle est minorée par 0 ?

C'est la définition même de « être minoré(e) par 0 ».

Je veux dire par la que si par exemple la limite d'une suite décroissante est 4, elle sera minorée par 4 mais aussi par les tous chiffres inférieur à 4 ?

Oui, mais personne n'a dit que la limite de la suite que tu étudies est 0 (bien que ça soit vrai). On a simplement dit que si une suite est décroissante et minorée (que ça soit par 0 ou par un autre nombre, cela n'a aucune importance) alors elle converge (on ne connait pas la valeur de la limite mais on sais que la suite converge).

Ceci dit je ne vois pas pourquoi ici on te demande de montrer la convergence de la suite avant de calculer sa limite alors qu'on pourrait tout faire en même temps.

[invite9e8a1319]

Ah ok merci c'est plus clair mtn, donc c'est bien la question qui m'a embrouillé l'esprit