Bonsoir à tous,
J'aide un étudiant en prépa BCPST, et il a un exercice sur le théorème du point fixe des fonctions lipschitziennes.
C'est classique, mais je bloque à un moment :
On prend une fonction lipschitzienne de coefficient A<1, on montre qu'elle est continue.
Ensuite, on construit une suite Un en posant Un+1=f(Un)
Il vient facilement que |Un+1-Un|<An|U1-U0|
On nous demande d'en déduire que la suite Un converge vers une limite l, qui sera notre point fixe.
Je sais le faire facilement en montrant que Un est de Cauchy, mais ce n'est pas dans leur programme. Voyez vous une solution avec les outils dont ils disposent (comparaison de suites, monotone et bornée..) ?
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est absolument convergente...