Faisceaux

[invitecbade190]

Bonjour,

Je galère depuis ce matin sur une notion que je ne comprends pas, la voici :

Le but du paragraphe est de construire un faisceau d'anneaux sur l'espace topologique avec un anneau commutatif tel que pour tout , la tige soit le localisé de par rapport à la partie multiplicative , et : la restriction du faisceau à l'ouvert soit isomorphe à avec . On rappelle que est le localisé de par rapport à la partie multiplicative .

Voici le passage que je ne comprends pas :

On va d'abord, définir l'anneau et les applications de restrictions quand . On pose : .

Pourquoi, si , alors, cela signifie que ( i.e : ), et donc est inversible dans , et on obtient un homomorphisme de restriction provenant de la définition de la localisation ( cela revient à envoyer sur )

Je ne saisis pas bien ce passage dans ma tête.

Merci pour votre aide.

P.S : Écrivez moi la réponse en détail svp, car je ne comprends pas bien ce qui est écrit là.
-----

[invite76543456789]

Salut!
Qu'est ce que tu comprends pas exactement?
Si D(g) est inclus dans D(f), alors tu veux definir une fleche de restriction, comme V(f) est inclus dans V(g), on a g inclus dans le radical de (f), ce qui veux exactement dire qu'une certaine puissance de g est dans (f), donc g^m=f.b
Tu as un morphisme de A dans A_g, qui envoie f sur un inversible, donc par la prop universelle de la localisation tu as un morphisme de A_f dans A_g, donné par (a,f^k)->(ab^k,g^m).
Je vois pas trop comment on peux detailler plus. Essaie de visualiser ca dans le cas d'un anneau intègre, c'est alors tres facile, la preuve est juste une transposition du cas integre au cas general.

Si c'est le fait que V(I) inclus dans V(J) impose J inclus dans le radical de I qui te pose un probleme, cela provient simplement du fait que le radical de I est l'intersection de tous les ideaux premiers contenant I.

[invite76543456789]

En fait pour construire le faisceau structural sur Spec A, on peut proceder de manière plus suggestive, là ta construction est plutot ad-hoc.

Tu peux definir sur Spec A un faisceau O_A, pour ca tu peux prendre pour tout ouvert U de spec A, l'ensemble des sections de O_A au dessus de U c'est l'ensemble des fonctions s dans la reunion disjointes des A_p (pour p dans U), tel que s(p) soit dans A_p pour tout p, et qui localement proviennent d'un element de A localisé par une fonction ne s'annulant pas.
Il est alors facile de prouver que le pré-faisceau obtenu est un faisceau, isomorphe a celui que tu as defini dans ton message (les tiges sont clairement isomorphes).

[invitecbade190]

Bonsoir MissPacMan :
Ce que je ne comprends pas est quant on dit que : implique que est inversible dans . J'ai encore quelques lacunes en théorie de localisation d'anneaux, car j'ai vu cela il y'a longtemps ... Je vais jeter un œil sur mon cours d'algèbre commutative des années précédentes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite76543456789]

Ben g est inversible dans A_g (par definition j'ai envie de dire), l'inverse de g c'est... 1/g (ou (1,g) pour coller avec les notations de mon premier message).
Ici fb=g^m, donc fbg^{-m}=1 et f est inversible dans A_g.

[invitecbade190]

Merci pour ces précisions MissPacMan.
Ce que je ne comprends pas aussi est comment on fait pour déduire qu'on a un homomorphisme de restriction .
Merci d'avance.

[invite76543456789]

Je t'ai ecris exactement ce qu'etait ce morphisme de localisation (et pas de restriction), il suffit d'envoyer a/f^k sur ab^k/g^mk.