Orthogonal

[invite705d0470]

Bonjour,
on considère un espace préhilbertien réel et F un sous espace vectoriel fini de E. Comment montrer que ?
En fait il suffirait juste de montrer .

j'ai un début d'idée, pourriez vous me dire si calà fonctionne ? (et/ou m'en donner une sinon)

On pose une base orthonormée de F.
Et on considère qui à tout vecteur de E associe ses composantes dans la base B de F.
est bijective, donc en particulier est surjective. on a de plus .
J'ai l'impression qu'on est proche de , mais impossible de le montrer !
Pourtant on voit bien que par exemple (on peut toujours rajouter des éléments du noyau !) ...

j'ai bien besoin d'un peu d'aide


PS: on peut très certainement avoir une vision moins détournée, mais même de cette façon je ne suis pas satisfait de ma méthode:
Si , alors je voulais considérer et montrer pour tout vecteur de B.
En écrivant où famille de E et des coefficients non nuls, alors par l'absurde si pour un naturel k le produit scalaire n'est pas nul, on a .
"Donc " on devrait avoir ce , mais alors on obtient une contradiction car alors ... (en gros, ça ne marche pas bien)

Qu'en pensez vous ?
Merci d'avance,

Snowey
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Il vaut mieux considérer :


qui est un projecteur, donc immédiatement : .

[invite705d0470]

Ah tout simplement ... ^^

D'accord !