groupe orthogonal
Bonjour,
je n'arrive pas à faire cet exercice:
Déterminer tous les éléments de O(2) le groupe orthogonal d'ordre 2. Même question pour O(3).
Pouvez vous m'aider svp?
Voici ce que j'ai fais:
en utilisant A.tA= Id
j'obtiens un système:
a²+c²=1
ab+cd=0
b²+d²=1
ce qui me donne si je prend a=cos teta et b= sin teta
c= - sin teta et d= cos teta.
J'ai besoin d'aide svp
Envoyé par minidiane
Ce qui donne des rotations qui ne sont pas d'ordre 2 sauf une.
On peut procéder ainsi (faire plus de géométrie et moins d'algèbre) :
Soit A dans O(2) d'ordre 2 :
1) A est diagonalisable
2) A²=Id donc les valeurs propres ne peuvent être que -1 et 1
Trois cas :
-1 n'est pas valeur propre->aucun élément d'ordre 2 (mais d'ordre 1 : l'idendité)
-1 est valeur propre double->un seul élément de O(2) : la symétrie centrale
-1 est valeur propre simple-> (symétrie axiale) la droite associée est caractérisée par un vecteur (a,b), on peut imposer a²+b²=1,
un vecteur orthogonal au premier est (-b,a) qui est un vecteur propre de valeur propre 1.
Donc
Pour ceux de O(3), quatre cas :
-1 valeur propre triple->un élément (symétrie centrale)
1 valeur propre triple->l'identité qui n'est pas d'ordre 2
-1 est valeur propre simple->symétrie orthogonale par rapport à un plan orthogonal à un vecteur propre (a,b,c) de valeur propre.
-1->avec changement de base on détermine leurs formes
1 est valeur propre simple->symétrie orthogonale par rapport à une droite de vecteur directeur (a,b,c).
Le point 1 utilise le point 2 : A²=Id donc (A+ID)(A-ID)=0.
Je ne comprend pas bien comment on obtient:
j'ai calculé 1)A²=Id, 2) (A+ID)(A-ID)=0 et j'obtiens une contradiction
je trouve
Déjà, pourquoi l'ai je écrit ainsi je ne sais pas trop, il était plus simple de l'écrire ainsi :Je ne comprend pas bien comment on obtient:
En fait, c'est un changement de base :
(R², base canonique) --Id-->(R², base*)--f-->(R², base*)--Id-->(R², base canonique)
où base* est la base de vecteurs propres de coordonnées (a,b) et (-b,a)
Je ne vois pas bien quel calcul tu as fait. D'autre part il n'y a pas une nécessaire contradiction dans le fait d'obtenir deux résultats différents pour deux cas différents.j'ai calculé 1)A²=Id, 2) (A+ID)(A-ID)=0 et j'obtiens une contradiction
je trouve
Remarque :
ok cette fois j'ai deux équations différentes:
a^4+b^4+2a^2b^2=0 et -a^4-2a^2+b^4+2b^2-1+4a^2b^2=1
est-ce que cela est juste?
Je ne sais surtout toujours pas d'où viennent ces équations. Tu calcules quoi là ?
J'ai calculé A, A² et (A+Id)(A-Id)
Je reprends mon explication :
un élément d'ordre 2 de O(2) (vu matriciellement) est une matrice A qui
i) vérifie A²=Id donc ses seules valeurs propres possibles sont 1 et -1.
ii) comme en plus c'est une matrice de O(2) elle est diagonalisable dans une base.
Deux cas sont faciles 1 ou -1 est valeur propre double : Id (mais qui est d'ordre 1) ou la symétrie centrale qui est elle est bien d'ordre 2.
Troisième cas : 1 et -1 sont toutes les deux valeurs propres simples.
Après un changement de base A est donc de la forme
Inversement, si
On a donc trouvé la forme de toutes les matrices de O(2) d'ordre 2 correspondant à ce cas, celles-ci sont de la forme :
Le seul calcul qui reste à faire est le produit de ces trois matrices, plus (et ce n'est pas inutile) de vérifier que le produit obtenu vérifie bien les deux propriétés : i) être dans O(2) ii) être d'ordre 2.
Si le calcul invalide un de ces derniers points, l'erreur provient alors du calcul du produit des trois matrices (vérifier que QA'Q-1 est dans O(2) et d'ordre 2 est aisé et a été fait).
ok je comprend mieux, par contre je n'ai pas compris
Pour n=3, il y a 4 cas selon les multiplicités des valeurs propres 1 et -1. La somme de ces deux multiplicités vaut 3.
Le cas où 1 est valeur propre triple ne contient que l'isométrie identité, mais celle-ci ne doit pas être retenue car est d'ordre 1 et non pas 2.
Le cas -1 valeur propre triple ne contient que l'isométrie centrale, celle-ci est par contre bien d'ordre 2.
Il reste les cas:
1 valeur propre simple et -1 valeur propre double
-1 valeur propre simple et 1 valeur propre double
Comme pour le cas n=2 on peut les écrire sous la forme PA'P-1
avec A' diagonale (différente dans les deux cas) et P est une matrice de changement de base bien choisi.
bonjour,
le groupe orthogonal O(2) est un groupe commutatif pour le produit matriciel, il est composé des rotations et des symétries orthogonales. on démontre cela en poursuivant l'étude que tu as commencé.
pour O(3) il s'agit d'un groupe non commutatif composé des rotations axiales et des symétries orthogonales à un plan.
