Caractère C1 d'une fonction de plusieurs variables

[invite8f6d0dd4]

Bonsoir.
J'ai une question sur le caractère C1 des fonctions de plusieurs variables.
Déjà pour la continuité des telles applications, prenons par exemple une application f qui à (x,y) fait correspondre z, et étudions là en (0,0).
On dit qu'il faut surtout pas regarder la continuité suivant Ux puis la continuité suivant Uy et dire "voila c'est continu suivant ces deux directions donc c'est continu en (0,0), mais il faut regarder suivant "toutes les directions" (en passant eventuellement en polaire et en faisant tendre Reau vrs 0 pour tout teta. J'arrive à visualiser cela, ce qui me pose problème c'est pour les fonctions C1.

Pour qu'une fonction soit C1, il faut que toutes ses dérivées partielles (donc d/dx et d/dy ici) soient continues (d'après la définition).
Mais en faisant ça on ne se contente pas de regarder que dans les directions des Ux et des Uy???
Pour moi il faudrait montrer que la dérivée de la fonction selon n'importe quel vecteur de l'espace en (0,0) est continu et ne pas se contenter des dérivées suivant Ux et Uy.
Ou est la chose que je comprends mal?

Merci bien!
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[invitec3143530]

il existe un théorème qui dit que si les dérivées partielles sont C1 en (x,y), alors la fonction est continue en (x,y).

[invite8f6d0dd4]

Peut être mais ce que je ne comprends pas c'est la définition qu'on donne à fonction C1 qui semble opposée à celle qu'on donne au fonctions continues.

[gg0]

Bonsoir.

Tu peux lire http://www.bibmath.net/dico/index.ph...lassefonc.html.
Cette équivalence illustre le fait que la dérivabilité est une notion très différente de la continuité. Surtout à plusieurs variables. Et dans le cas des fonctions d'une variable complexe c'est encore plus fort !

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3143530]

Si les dérivées partielles par rapport à x et y existent et sont continues, alors les dérivées suivant n'importe quelle direction existent et sont continues, voilà pourquoi on se contente dans la définition de parler seulement de df/dx et df/dy.

Regarde la définition 3.3 de ce poly pour la démo : http://www.licence.math.upmc.fr/tele.../fichiers/12/3