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[Enigme]Les faces opposées d'un dé



  1. #1
    ananda

    Question [Enigme]Les faces opposées d'un dé


    ------

    Salut,

    Je pense que mon message est posté au bon endroit (enfin on verra bien ). Voici ma question : pourquoi la somme des faces opposées sur un dé est toujours égale à 7 ? ça paraît tout bête comme question...mais je n'ai pas la réponse...Bonne cogitation !

    A+

    -----

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  3. #2
    yat

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé


    Parce qu'ils sont fabriqués comme ça...
    On a 6 chiffres de 1 à 6 à répartir sur 6 faces, il fallait bien choisir une manière de le faire, celle-ci est plutôt élégante.

  4. #3
    ananda

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    Ben justement, je ne me contente pas de cette simple constatation !

    Pour une règle ou une balance, il est clair qu'on doit "étalonner", et qu'il faut choisir un système de référence. Mais dans le cas du dé, je ne jamais entendu parler d'une réunion internationale visant à ce que la somme des faces oppposées d'un dé soit égale à 7 Pourquoi cette convention ? Une raison historique ?

    De plus, sachant que l'agencement des faces d'un dé ne change pas la probabillité d'apparition d'une face...pourquoi alors n'y aurait-il pas des dés dont les faces sont distribuées de manière aléatoire ? Tout est dans ce paradoxe : le dé est "l'allégorie du hasard", alors que la structure même du dé n'obéit pas au hasard, car elle est toujours la même...C'est rigolo quand même !

    A+

  5. #4
    yat

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    Citation Envoyé par ananda
    Mais dans le cas du dé, je ne jamais entendu parler d'une réunion internationale visant à ce que la somme des faces oppposées d'un dé soit égale à 7 Pourquoi cette convention ? Une raison historique ?
    Bah je n'ai jamais entendu parler non plus d'une réunion internationale visant à ce que le valet vale 20 à l'atout et 2 dans les autres couleurs, ou que le cavalier avance de deux cases dans une direction puis une case perpendiculairement... C'est comme ça que la belote et les échecs se jouent. Pour les dés c'est pareil.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Penelope20k

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    En fait c 'est simplement une regle generale pour construire des dés .. la somme de face est opposée est toujours egale au nombre de face +1

    pour un dé de 6 .;la somme des faces est 7
    pour un des de 10 faces ..somme = 11
    pour 20 somme =21..

    alors que si l'on avait decider que un des de 6 serait construit de la sorte (6,2),(5,4) (1,3) ..il aurait fallu definir comment se construit un des de 10 faces, de 20 faces etc ..donc a chaque fois etablir une regle particuliere pour chaque type de dé ...


    de plus ..si les dés auraient été construit aléatoirement .;chaque constructeur choisissant une regle particuliere ..on aurait jamais eu de dé identiques ...
    Dernière modification par Penelope20k ; 14/12/2005 à 10h00.

  8. #6
    ananda

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    C'est amusant : vous constatez les choses (vous évoquez des "règles"), et puis c'est tout, vous en restez là. Moi ça m'interpelle cette "structure non aléatoire du dé"... D'ailleurs je vais déposer un brevet sur le premier dé au monde dont la somme des faces opposées n'est pas égale à 7...je serai riche, pis c'est tout !

    de plus ..si les dés auraient été construit aléatoirement .;chaque constructeur choisissant une regle particuliere ..on aurait jamais eu de dé identiques ...
    Ben justement, où serait le problème ?
    Dernière modification par ananda ; 14/12/2005 à 10h09.

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  10. #7
    GuYem

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    Citation Envoyé par ananda
    C'est amusant : vous constatez les choses (vous évoquez des "règles"), et puis c'est tout, vous en restez là. Moi ça m'interpelle cette "structure non aléatoire du dé"... D'ailleurs je vais déposer un brevet sur le premier dé au monde dont la somme des faces opposées n'est pas égale à 7...je serai riche, pis c'est tout !



    Ben justement, où serait le problème ?
    Bonne idée. Il faut faire bouger les choses en place
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  11. #8
    Penelope20k

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    Si tu deposes ton brevet .. et si tu construits deux dés ..est ce que tu aura deux dés identiques ...
    normalement non ..
    donc tu n'as meme pas besoin de construire un dé..

    suffit juste d'un jeton avec un petit cristaux liquide dessus ..qui fait random (6) par exemple ..ca suffirait ..
    ou random (20) pour un jeton de 20...

  12. #9
    invité576543
    Invité

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    Bonjour,

    Mathématiquement, l'élégance évoquée par Yat se justifie. Les faces du dé forment une représentation particulière du groupe de symétrie du cube. De l'autre côté, on peut voir les nombres de 1 à 6 comme le groupe additif Z/6Z. On peut alors se poser la question comment faire une bijection entre les deux qui respectent le plus les structures de groupe respectives. Une évidence est de mettre en correspondance l'inversion qui est n ->7-n dans cette version de Z/6Z, et l'inversion 3D. Ce qui donne la règle d'addition des faces opposées. Et on ne peut pas faire mieux.

    Dans le cas du dé à 20 faces, un icosaèdre, d'autres correspondances peuvent être mise en place si je me souviens bien. Les 20 faces peuvent se grouper en 5 groupes de 4, chaque groupe formant un tétraèdre, et cela peut se mettre en correspondance avec, dans Z/20Z, les 5 classes modulo 5, chacune contenant 4 éléments. On peut peut-être aller plus loin, mais cela montre qu'une notion de "maximum d'élégance" peut être définie et déterminée par la théorie des groupes...

    Cordialement,

  13. #10
    shokin

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    Si la somme de deux faces quelconques et opposées entre elles d'un dé "normal" égale toujours 7, c'est une loi de la nature (vous savez, 7, le fameux nombre de la perfection).

    Et bien sûr les autres dés (imparfaits) auront été éliminés (la solution finale ou la sélection naturelle ?).

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  14. #11
    ananda

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    Chalut,

    mmy a écrit :
    Mathématiquement, l'élégance évoquée par Yat se justifie. Les faces du dé forment une représentation particulière du groupe de symétrie du cube. De l'autre côté, on peut voir les nombres de 1 à 6 comme le groupe additif Z/6Z. On peut alors se poser la question comment faire une bijection entre les deux qui respectent le plus les structures de groupe respectives. Une évidence est de mettre en correspondance l'inversion qui est n ->7-n dans cette version de Z/6Z, et l'inversion 3D. Ce qui donne la règle d'addition des faces opposées. Et on ne peut pas faire mieux.
    Je ne comprends quasi-rien de ce texte ! c'est vraiment affreux pour moi, car tu sembles maîtriser le sujet (je comprends que le terme bijection...) Tu pourrais reformuler ton propos (sans le dénaturer ) pour quelqu'un de "pas calé" en maths ?

    Edit : et merci
    Dernière modification par ananda ; 14/12/2005 à 12h59.

  15. #12
    martini_bird

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    Salut,

    l'idée de mmy est simplement d'associer aux faces du cube un nombre qui reflète au mieux les symétries du groupe Z/6Z (pour décrire ce groupe, essaie d'imaginer une horloge avec seulement 6 heures et calcule par exemple 5+3=2).

    Cordailement.

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  17. #13
    ananda

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    J'ai compris l'image de l'horloge, merci, mais pour le reste....par exemple : groupe Z/6Z ?

  18. #14
    invité576543
    Invité

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    Citation Envoyé par ananda
    Tu pourrais reformuler ton propos (sans le dénaturer ) pour quelqu'un de "pas calé" en maths ?
    Je vais essayer... Pas facile en quelques lignes!

    Un dé est un cube, et un cube a certaines propriétés de symétries. Si on tourne un cube d'un quart de tour autour de l'axe passant par le centre du cube et le centre d'une face, des sommets sont permutés, mais ils occupent, en tant qu'ensemble, le même jeu de 8 points. Il y a donc des symétries particulières du cube, des rotations, des plans de symétrie, etc. On compte 48 telles opérations. Par exemple, il y 6 rotations d'un quart de tour (3 axes différents, et 1/4 de tour à droite ou à gauche, facile à voir avec un Rubik's cube(*)...). Il y a deux opérations particulières, souvent oubliées: l'identité (on ne change rien), et l'inversion (les sommets opposés, les faces opposées, les arêtes opposées sont échangées - ce n'est ni une rotation ni une symétrie "miroir"). Ces 48 opérations ont la particularité que faire une opération puis une autre donne toujours une des 48 opérations. Ce structure l'ensemble de ces 48 opérations.

    Passons aux nombres de 1 à 6. Cet ensemble se structure naturellement comme les numéros des sommets d'un hexagone. Notons qu'en numérotant dans l'ordre, les sommets opposés de l'hexagone ont des numéros dont le total vaut 7. Il suffit de faire un dessin. L'hexagone a aussi des opérations de symétrie (il y en a 12, dont l'inversion, l'échange des sommets opposés).

    La numérotation des faces d'un dé devient la mise en correspondance entre les faces d'un cube et les sommets d'un hexagone. On peut alors se demander comment faire pour que des opérations de symétrie correspondent. Et une possibilité évidente est de mettre en correspondance les deux inversions (échange de sommets opposés dans l'hexagone, et échanges de faces opposées dans le cube). Si on regarde le reste des opérations, on se rend compte (mais c'est des maths!) qu'aucune règle supplémentaire ne peut être ajoutée pour augmenter la correspondance entre la symétrie du cube et la symétrie de l'hexagone.

    La même chose sur un icosaèdre utilisé comme dé à 20 faces revient à regarder les opérations de symétrie de l'icosaèdre (120 opérations!!) et les opérations de symétrie de l'icosagone (polygone régulier à 20 sommets). L'inversion (permutation de sommets opposés) peut encore être mise en correspondance, mais il y en a d'autres dans ce cas...

    En gros, ma thèse est que l'analyse des symétries du polyèdre et du polygone dont le nombre d'arêtes est le nombre de faces du polyèdre permet de trouver les numérotations "élégantes" des faces du polyèdre...

    Ca doit être plus clair, mais peut-être pas encore assez?

    Amicalement,

    Michel



    (*) Dans le Rubik's cube il n'y a que les rotations, pas les miroirs et pas l'inversion...

  19. #15
    ananda

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    Merci pour ces précisions ! Dans un premier temps, j'essaie d'assimiler le tout, et ensuite je te dirai mes observations (ça va peut-être prendre du temps ...)

    A+

  20. #16
    Keorl

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    J'arrive après la bataille (de 13 ans, ce n'est rien) mais le sujet m'intéresse.
    Je viens de voir la vidéo de Micmath où il affirme que la règle des faces opposées est aussi importante qu'une autre règle dont il parle (mais non respectée par le dé classique) : avoir une somme (ou tout au moins une moyenne) identique à chaque sommet. En effet avec le dé à 6 faces classiques, on a un sommet qui a les petits chiffres (1-2-3) et le sommet opposé a les gros chiffres (4-5-6) ... sur des dés plus gros avec un tel défaut, on pourrait s'entrainer à viser un hémisphère du dé pour obtenir de meilleurs résultat aux jeux. Mais je ne comprenais pas pourquoi la règle des faces opposées était aussi importante et je me suis lancé dans les recherches, ce qui m'amène ici.

    - invité576543, je comprends bien le raisonnement de mise en correspondance d'un polygone et de son polyèdre correspondant (en nombre remplaçant le préfixe "poly" dans les deux cas) par une (la seule?) correspondance sommet (du polygone) <-> face (du polyèdre) qui conserve les transformations isométriques. Mais voilà, ce raisonnement ne dépend pas de l'étiquetage qu'on associe aux sommets et faces, tant qu'il correspond. Dans l'exemple de l'hexagone/cube, tu peux remplacer les étiquettes des 6 sommets (1 à 6) par 6 couleurs parfaitement arbitraires, et faire correctement la correspondance avec le cube en mettant les 6 couleurs sur les bonnes faces. Idem si tu reviens aux nombres de 1 à 6 : tu peux les positionner comme tu l'entends (si je ne m'abuse, on a 20 possibilités : 6!/6rotations) et faire proprement la correspondance avec le cube. Ce que tu appelles "dans l'ordre" reste fort subjectif je pense, car il s'agit apparemment de numéroter par exemple de haut en bas et de gauche à droite (ou l'inverse) dans le but précis d'obtenir la règle du total = 7 pour les sommets opposés (le serpent se mord la queue) ... Pour moi un ordre plus naturel (mais en fait tout aussi subjectif) serait de partir d'un sommet et numéroter en suivant les arrêtes (dans ce cas le 6 se retrouve à côté du 1, c'est raté pour le total des sommets opposés ! On aura 5 7 et 9).

    Bref, toute cette lecture m'a fait réfléchir et j'ai fini par me rendre compte que la raison est peut-être tout aussi simple que celle de l'autre règle (avec les sommets égaux pour éviter qu'on vise un hémisphère) : avec des faces opposées ayant toujours la même somme, on évite de permettre un lancer qui tenterait de faire rouler le dé selon l'axe qui joint les 2 faces opposées ayant le moins de points, de sorte à obtenir une espérance plus grande. Si je reprends l'exemple où on a les totaux des faces opposées à 5 7 et 9 (suite à la numérotation dans l'ordre de l'hexagone : 1 et 4, 2 et 5, 3 et 6 sont opposés), je pourrais tenter de faire rouler le dé bien droit autour de l'axe 1-4, obtenant ainsi une espérance de 4 (au lieu de 3.5 sur un dé normal). C'est sûrement très difficile à réaliser avec un dé à 6 faces moderne, mais peut-être était-ce moins dur dans l'antiquité (où la règle des faces opposées était déjà appliquée) avec des dés plus cubiques ? Ou alors, tout comme pour la règle des sommets, ça deviendrait plus facile à exploiter sur des dés plus gros.
    Dernière modification par Keorl ; 05/04/2019 à 23h12.

  21. #17
    eudea-panjclinne

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    Citation Envoyé par Keorl
    C'est sûrement très difficile à réaliser avec un dé à 6 faces moderne, mais peut-être était-ce moins dur dans l'antiquité (où la règle des faces opposées était déjà appliquée) avec des dés plus cubiques ?
    Dans l'antiquité romaine et Grecque
    www.persee.fr/Les jeux de table en Grèce et à Rome, p. 53
    A voir pour ailleurs, en Mésopotamie ou en Egypte par exemple
    Ce peut-être une raison probabiliste ou une autre raison, historique ou religieuse... Il faut se méfier d'appliquer a posteriori nos raisons scientifico-mathématiques.

  22. #18
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    Citation Envoyé par eudea-panjclinne Voir le message
    Ce peut-être une raison probabiliste ou une autre raison, historique ou religieuse... Il faut se méfier d'appliquer a posteriori nos raisons scientifico-mathématiques.
    c'est aussi mon sentiment.
    on pourrait par exemple supposer que c'est la configuration la plus "facile" à reproduire.
    elle est quasiment totalement symétrique par rotation. En fait in n'y a que deux solutions diff par rotation, mais symétriques "en miroir".
    donc pas de question à se poser pour en construire des équivalents.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  24. #19
    minushabens

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    puisque les points sont souvent marqués par des petits creux, la configuration choisie laisse le centre de masse au centre du cube.

    j'ai vu au musée archéologique de Lattes un dé à jouer en os qui a environ 2000 ans. Il est un peu déformé et jauni par son long séjour dans le sol mais autrement il est strictement identique à un dé moderne, c'est fascinant de voir que cet objet n'a absolument pas changé, il faut croire qu'il est parfait.

  25. #20
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    puisque les points sont souvent marqués par des petits creux, la configuration choisie laisse le centre de masse au centre du cube.
    pas sûr de ça.
    le 1, le 2 et le 3 sont adjacents sur un coin , tout comme les 4,5 et 6.
    on peux donc le couper en deux pyramides totalement symétriques avec des nb de "creux" les plus diff possibles.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  26. #21
    minushabens

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    ah oui je ne sais pas pourquoi j'ai écrit ça mais c'est complètement faux.

    du coup, exercice: trouver la disposition des points qui fasse que le centre de masse soit le plus proche du centre du cube (on suppose que chaque point enlève une même quantité de matière et que les points sont disposés comme sur un dé ordinaire (le 6 en 2 rangs de 3 points, etc).

  27. #22
    jacknicklaus

    Re : [Enigme]Les faces opposées d'un dé

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    ah oui je ne sais pas pourquoi j'ai écrit ça mais c'est complètement faux.

    du coup, exercice: trouver la disposition des points qui fasse que le centre de masse soit le plus proche du centre du cube (on suppose que chaque point enlève une même quantité de matière et que les points sont disposés comme sur un dé ordinaire (le 6 en 2 rangs de 3 points, etc).
    intuitivement,je dirais que les sommets opposés doivent être (1,2), (3,4),(5,6), ce qui minimise la somme des 3 écarts entre 2 faces opposées
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

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