Matrice n-ième de l'identité

[invite6f25a1fe]

Bonjour,

J'aimerais savoir si toutes les matrices S telle que où I est la matrice carré nxn identité est simplement l'ensemble des matrices pour k =1 ... d où est ce qu'avec les matrices il y a des subtilités supplémentaires ?

Merci de votre aide
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[Tiky]

Bonjour,

La réponse est non mais ce n'est pas tellement plus compliqué. En effet dire que signifie que S est annulé par le polynôme qui est scindé et à racine simple sur C.
Tu en déduis que la matrice S est diagonalisable sur C et que ses valeurs propres sont toutes des racines d-ième de l'unité. Donc S est semblable à une matrice diagonale dont les valeurs propres sont
des racines d-ième de l'unité (non forcément distinctes). La réciproque est facile. Tu peux même compter facilement le nombre de classes de similitudes dont les éléments vérifient l'identité en question.

[invite6f25a1fe]

Merci,

Et est ce que toute matrice T telle que pour tout x de l'ensemble discret S=(x1, x2, ..., xN) où les xi sont des vecteurs colonnes complexes (dans mon cas de taille 4), est alors forcément une matrice représentative d'un d-cycle (). En fait, à partir de ça, j'aimerais surtout pouvoir comprendre la structure de l'ensemble S. Pour moi, intuitivement, j'aurais tendance à dire que S est simplement . Mais j'ai du mal à recoller tous les morceaux et à faire quelque chose de mathématiquement correcte est cohérent.