Cacul de matrice à la puissance n-ieme

[invitedc0d7d67]

Bonsoir,

J'ai la matrice suivante
6 -2 2
-2 5 0
2 0 7

Apres avoir calculé les valeurs propres (3,6,9) et les vecteurs propres,
je souhaite calculer Aⁿ

le polynome caractéristique est P(X) = X³-18X²+99X-162

donc d'après le theoreme de Cayley Hamilton j'ai
A³=18A²-99A+162I

J'essaye de trouver une relation de récurrence en calculant A⁴ et A⁵ mais je n'arrive pas trouver une expression en fonction de n

Dois-je utiliser une autre méthode sachant que la matrice est symétrique et n'est pas nilpotente ?

Merci pour vos indications
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[invite029139fa]

Par théorème, on sait que le polynôme minimal a les mêmes racines que le polynôme caractéristique.
Donc dans ton cas, on a .
Donc le polynôme minimal est a racines simples, scindé dans .
Par théorème, tu peux diagonaliser ta matrice. En calculer les puissances devient alors très simple.
Bon courage.

Elie520

[invitedc0d7d67]

Merci pour ta réponse

Donc si j'ai bien compris, il faut que je cherche à diagonaliser cette matrice ce qui est possible car toute les racines de son polynôme minimal sont distrinctes.
La diagonalisation me permettra de conclure sur A^n

Je vais chercher par la...

[GrisBleu]

Salut

En ayant diagonalise A, tu a trouve P telle que P^-1 D P = A ou D est diagonale
Avec cette forme, ce n'est pas complique de calculer A^n
++

[A voir en vidéo sur Futura]