cours sur les corps des reel

[invite39ac77b7]

Bonjour, pouvez-vous me donner une explication assez claire de ces définition svp
des schémas, des exemples, ou autres pour très bien comprendre serai les bienvenu =)

"De…nition 6 Soit (E;<) un ensemble ordonné et A une partie de E , on dit que A posséde un
plus grand(resp un plus petit ) élément ssi A posséde un majorant (resp un minorant) appartenant
à A. Comme ces éléments quand ils existent sont manifestement uniques on les note max (A) (resp
min (A))


De…nition 7 Soit (E;<) un ensemble ordonné et A une partie de E (A  E), on dit que A
posséde une borne supérieure (resp inférieure) si l’ensemble des majrants (resp des minorants) de
A est non vide et posséde un plus petit (resp un plus grand) élément.Comme ces éléments quand
ils existent sont manifestement uniques on les note sup (A) (resp inf (A)):

Remarque 1 Si max (A) (resp min (A)) existe on a:
max (A) = sup (A) (resp min (A) = inf A)
<et A posséde une borne supérieur (resp inférieure)"
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Voici des exemples simples:

Pour la définition 6: E est l'ensemble des réels et A = [0, 1]. Alors min(A) = 0, max(A) = 1.

Pour la définition 7: E est l'ensemble des réels et A = ]0, 1[. Alors sup(A) = min([1, +oo[), inf(A) = 0 = max(]-oo, 1]).
Mais max(A) et min(A) n'existent pas.

Pour la remarque: E est l'ensemble des réels et A = [0, 1]. Alors min(A) = 0 = inf(A), max(A) = 1 = sup(A).