Intégrale de Lebesgue

[invited17825bc]

Bonjour,

Après avoir découvert l'intégrale de Riemann dans mes cours de mathématiques traditionnels, j'aurais aimé appréhender l'intégrale de Lebesgue. Je me suis pour cela appuyé sur un cours donné en 1ere BAC math.

En gros, après avoir défini les notions de "presque partout"(pp), convergence "presque partout", fonctions étagées, ensembles mesurables, ensembles intégrables, intégrales de fonctions étagées... La notion de suite de fonctions étagée dans Rn de Cauchy est introduite.

Enfin, on définit qu'une fonction f définie pp dans Rn est intégrable s'il existe une suite de fonctions étagées (a_m) dans Rn qui soit de Cauchy et qui converge pp vers f. L'intégrale de f est alors la limite de la suite numérique I(a_m) ( I(a_m) représentant l'intégrale de la fonction étagée am ).

(voila j'espère ne rien avoir oublié^^)

1) Ma question est: comment interpréter correctement, de manière la plus intuitive possible, cette définition?
2) Que donne cette interprétation sur le cas spécifique de la fonction qui prend la valeur 1 sur les rationnels et 0 sur R\Q? En effet, je ne vois pas trop comment une telle fonction peut etre la limite pp d'une suite de fonctions étagées dans Rn...
3) Est-il juste de dire que la défintion de la Lebesgue-intégrabilité et de la Riemann-intégrabilité coïncident sur des ensembles bornés, fermés et ou f est pp continu et borné sur un tel ensemble?

PS: J'ai vu qu'il existait de telles discussions dans des posts antérieurs, mais aucun je pense ne reprenait la meme définition que je reprends ci-dessus, bien qu'elles soient toutes sans aucun doute équivalentes...
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[inviteea028771]

Pour la 1), le plus simple est de faire un dessin :
Pour Riemann, on fait des tranches verticales d'égales épaisseur, tandis que pour Lebesgue, on fait des tranches horizontales d'égale épaisseur :
http://en.wikipedia.org/wiki/File:RandLintegrals.png

Pour la 2), c'est trivial : ta fonction est nulle presque partout. Elle est donc limite pp de la suite de fonctions étagées

Pour la 3), il me semble que c'est vrai, sans en être absolument certain :/

[invitec3143530]

1)Il n'y a rien à interpréter, c'est une définition. (quoi que je crois qu'on définit plutôt l'intégrale de Lebesgue de f comme le sup des intégrales des fonctions étagées inférieurs à f, puis on démontre le th de convergence, donc ton cours va à l'envers)
2) Cette fonction est elle-même étagée (elle ne prend que 2 valeurs : 1 et 0), donc une suite constante suffit !
3)L'intégrale de Riemann n'est je pense définie que pour R^n comme espace de départ, et dans ton cas ça coïncide en effet, car une fonction continue est borélienne donc mesurable donc lebesgue intégrable.

[invite179e6258]

Pour la 1), le plus simple est de faire un dessin :
Pour Riemann, on fait des tranches verticales d'égales épaisseur, tandis que pour Lebesgue, on fait des tranches horizontales d'égale épaisseur :
http://en.wikipedia.org/wiki/File:RandLintegrals.png

et pour compléter : à première vue il n'y a pas de gain: saucissoner en long ou en large ça a l'air pareil, ce que suggère d'ailleurs le dessin de la page wiki. Mais en fait ce qui se passe c'est que les tranches horizontales peuvent être non connexes (composées de morceaux disjoints, pas forcément en nombre fini) alors que les tranches verticales de la méthode de Riemann sont connexes. Du coup on peut intégrer par Lebesgue des fonctions beaucoup moins régulières que par Riemmann.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited17825bc]

[QUOTE=Linkounet;4165536]1)Il n'y a rien à interpréter, c'est une définition. (quoi que je crois qu'on définit plutôt l'intégrale de Lebesgue de f comme le sup des intégrales des fonctions étagées inférieurs à f, puis on démontre le th de convergence, donc ton cours va à l'envers)

2) Cette fonction est elle-même étagée (elle ne prend que 2 valeurs : 1 et 0), donc une suite constante suffit !
QUOTE]

1) En effet, j'ai bien l'impression que l'approche du cours n'est pas tout a fait la meme que dans ce que j'ai pu voir un peu partout sur internet. C'est pour ca que j'avais jugé intéressant de créer la discussion

2) Dans le cours, on définit une fonction étagé comme une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques sur des semi-intervalles de Rn. Comment pourrait-on dans ce cas créer une combinaison linéaire (finie?) de telles fonctions, sachant que quelque soit le semi-intervalle de R choisi, on aura toujours "au moins" un irrationnel dans ce semi-intervalle?

[albanxiii]

Bonjour,

Vous trouverez ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%....C3.A9t.C3.A9s le théorème, du à Lebesgue, qui donne des conditions nécessaires et suffisantes de Riemann-intégrabilité.

Bonne journée.

[invited17825bc]

Merci beaucoup vos réponses!

Finalement, je me suis résigné à suivre une autre approche (plus conventionnelle). Juste une petite question... Que signifie le A exposant c dans le 2eme point de la définition?

[invitec3143530]

[QUOTE=Le petit belge;4165730]

2) Dans le cours, on définit une fonction étagé comme une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques sur des semi-intervalles de Rn. Comment pourrait-on dans ce cas créer une combinaison linéaire (finie?) de telles fonctions, sachant que quelque soit le semi-intervalle de R choisi, on aura toujours "au moins" un irrationnel dans ce semi-intervalle?

Normalement la définition d'une fonction étagée est une fonction prenant un nombre fini de valeurs (et chaque valeur est prise sur un ensemble mesurable

Ps : le c signifie complémentaire (ensemble).