Bonjour à tous! Voila en ce moment en maths nous abordons les intégrales! Et par curiosité, j'aimerais avoir quelques explications sur l'intégrale de Lebesgue car je suis aller sur wiki mais j'ai pas trop compris la notion. Voila merci d'avance
Karim35,
Haileau !
Alors d'un point de vue totalement pas rigoureux...
L'intégrale de Riemann consisté à encradrer la courbe par deux fonctions en escaliers très simples. On partait donc d'une subdivision de l'axe des abscisses et on calculait le tout en faisant tendre le pas de la subdivision vers 0.
Le soucis avec ce genre de procédé, c'est que l'on ne peut calculer l'intégrale que de fonctions très régulières.
Lebesgue est parti du problème inverse. Il a pris une partie de l'axe des ordonnées et a regardé quel "morceau" de l'axe des abscisses était envoyé dans cette partie.
Seulement là, le gros problème, c'était de mesurer ces morceaux de l'axe des abscisses en sachant qu'ils ont des formes très variées.
C'est sur ce principe que ce construit la théorie de Lebesgue qui permet de calculer l'intégrale de beaucoup plus de fonctions.
Salut "Joker" !c'est moi barbu !
Amicalement !
Salut J0ke! merci pour l'intégrale de Riemann je vois à peu près à quoi ça correspond graphiquement ( notre introduction du chapitre sur l'intégration c'était le calcul d'aire à partir de suite définies par réccurence donc c'est un peu le même procedé) mais parcontre pour Lebesgue je vois pas trop c'est un peu flou pour moi
Karim35,
Salut J0ke! merci pour l'intégrale de Riemann je vois à peu près à quoi ça correspond graphiquement ( notre introduction du chapitre sur l'intégration c'était le calcul d'aire à partir de suite définies par réccurence donc c'est un peu le même procedé) mais parcontre pour Lebesgue je vois pas trop c'est un peu flou pour moi
Karim35,
Salut karim :
Voiçi un exemple concret qui represente une fonction qui n'est pas regulier du tout et qui , son etude correspond parfaitement au domaine d'integration de Lebegue :Soitune fonction numerique definit sur
Donc, comme tu le remarques, c'est une fonction discontinue en tout point du domaine de
On a besoin donc d'une theorie qui permet de definir l'integrale de ce types de fonctions qui s'appelle comme tu le sais, l'integrale de Lebesgue, ou de manière generale, theorie de la mesure !
Les fonctions règulières comme tu le sait se calcule à l'aide de l'integrale de Riemann, donc pas de souci la dessus :
Par exemple :
Oki j'y vois un peu plus clair merci!
Karim,
Salut karim :
Voiçi un exemple concret qui represente une fonction qui n'est pas regulier du tout et qui , son etude correspond parfaitement au domaine d'integration de Lebegue :
Soit
Donc, comme tu le remarques, c'est une fonction discontinue en tout point du domaine de
On a besoin donc d'une theorie qui permet de definir l'integrale de ce types de fonctions qui s'appelle comme tu le sais, l'integrale de Lebesgue, ou de manière generale, theorie de la mesure !
Les fonctions règulières comme tu le sait se calcule à l'aide de l'integrale de Riemann, donc pas de souci la dessus :
Par exemple :
Pour ton autre question, le calcul de l'aire est parmi les les calculs de mesures possibles en theorie de l'integration de Lebesgue ... Donc, on calcule pas que les airs à l'aide des integrales, mais on clacule aussi les volumes , les probabilités, tout le jargon et formalisme utile en physique, par exemple : le champ electrostatique, le champ magnetique, les flux de pression ... etc. donc, l'integrale de Lebesgue vient pour calculer toute sorte de mesures quelques soit sa nature dont les mesures d'airs en fait parties ...
Cordialement !
Mais il y a un truc que je comprends pas c'est sur ce pdf.
http://www.umpa.ens-lyon.fr/~cvillani/Cours/PDFFILES/intro.pdf
tout à la fin , il y a les deux procédé donc celui de Riemann j'ai compris on somme tout les rectangles de base dx par f(x) pour avoir l'aire mais avec lebesgue j'ai pas l'impression qu'il "balaye" toute l'aire (il y a une partie de la courbe où il n'y a pas de rectangles...)
Bonsoir,
[ModeEnvoyé par chentouf
Soit
Donc, comme tu le remarques, c'est une fonction discontinue en tout point du domaine deON]Je la trouve plutôt régulière moi, elle est nulle partout
Romain
Alors la difference entre l'integrale de Legesgue et l'integrale de Riemann est simple à voir :
Si on considère une fonction numerique quelconque
L'integrale de Riemann est definie par :
D'après ton dernier message, tu sembles connaitre ce que ça veut dire cette expression ! c'est simple :
Par contre :
Alors mainteant pour l'integrale de Lebesgue c'est le contraire : c'est à dire :
Au lieu de decouper l'ensemble de depart en petits rectangles parallèles et verticales, on decoupe l'ensemble d'arrivée
en petits rectangles parallèles horizontales, tu vois la difference ? c'est une idée tellement idiote, alors qu'en réalité c'est parmi les theorie les plus remarquables et fameuse en analyse !
Maintenant, à ton avis commet formaliser ça :
On note quasiment comme ce qu'ona ecrit tout à l'heure pour l'integrale de Riemann :
represente toute l'aire de la surface delimité par l'axe des abscisses, la courbe
Alors, que serait le deuxième membre de l'egalité à ton avis d'après ce que j't'ai expliqué tout à l'heure : ce sera simpelemnt la somme infinie de ces petits rectangles parallèles verticaux", on note ça par :
Ces deux expressions sont finalement egales !
On note souvent :
Cordialement !
Edit : Ok Romain,
Oui pour la fonction ça serait pas la fonction de Dirichlet ou un truc comme ça
Edit: c'est quoi f^-1 et sinon pour l'histoire de la longueur de la partie A ça correspond à l'intervalle qu'on prend en ordonnée et puis le singleton c'est quoi? j'ai besoin d'un peu plus d'explications sur ces notions
Karim35,
Bonjour "karim":
Non, ce n'est pas la fonction de Dirichlet ! Ici, on s'interesse surtout à l'idée :
Pour continuer :
J'ai fait une erreur dans l'ecriture :
Il fallait que j'ecrive :
et :
Cordialement !
