Intégrale Lebesgue

[invite99706724]

Bonjour à tous,

On est en train de débuter l'intégrale de Lesbesgue et je me rends compte que je suis assez coincé !C'est tout bête mais je ne vois pas comment le faire avec cette nouvelle intégrale....

On note Int(f)u l'intégral de Lebesgue d'une fonction f avec du où u est une mesure.(X,T,u) espace mesuré.
J'ai f : X->R fonction mesurable strictement positive. (donc pour tout x dans X on a f(x)>0 ).
a) Montrer que Int(f)u>0
b) f et g deux fonctions intégrables telles que Int(f)u>Int(g)u. Montrer qu'il exite un x dans X tel que f(x)>g(x).
(et en plus je dois donner un exemple d'espace mesuré et de fonctions f,g telles que l'inégalité stricte ne se produit qu'en un seul point) .

Pouvez-vous m'aider ou m'expliquer comment ça marche je suis perdu ...

Merci beaucoup d'avance !!
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[invite769a1844]

Bonsoir,

a) commence par le montrer pour les fonctions étagées.

b) tu as l'intégrale de f-g qui est >0. S'il n'existe pas un x dans X tel que f(x)>g(x), alors , puis ,
et d'après a) , ce qui nous amène une contradiction avec le fait que . (pour l'exemple demandé pense aux dirac)

[invite99706724]

D'accord je crois que je commence à avoir je dois essayer de m'y prendre comme avec Riemann en fait ...
Pour le a) est ce que meme si ma fonction va dans R je peux faire comme si elle allait dans R+ et du coup je n'aurai pas a passé par sup(0,f) et sup(0,-f) ?

Pour montrer dans le cas des fonctions étagées j'utilise la formule avec la représentation d'une fonction étagée avec les fonctions indicatrices c'est ça ?
puis ensuite j'utilise la définition de l'intégrale pour une fonction à valeurs positives en disant qu eje prends le sup de toutes les intégrales de fonctiones étagées et ces fonction étagees je peux les prendre strictement positives c'est ca ?
et après peut-être je dois faire intervenir sup(f,0) et sup(-f,0) ??

Pout l'exemple est ce que tu peux m'expliquer comment ca marche vraiment parce que je n'arrive pas à comprendre le concept d'intégrer par rapport à une mesure ....

Merci encore beaucoup d'avance.

[invite99706724]

Peux-tu m'aider encore un peu s'il te plaît ??

Merci d'avance.

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