Problème de la hemicontinuité inférieure d'une correspondence.

invite4b03bb8f · 11/09/2012, 10h53

Bonjour à vous,

J'aurai besoin d'aide sur la question suivante.

Étant données deux fonctions $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ définies sur un espace topologique $\text{[math]}$ à valeurs réelles tel que $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .

Considérons la correspondance suivante $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$

Question: Sous quelles conditions la correspondance $\text{[math]}$ est hemicontinue inférieurement?

NB - Définition: On dit qu'une correspondance $\text{[math]}$ est hemicontinue inférieurement au point $\text{[math]}$ si pour n'importe quel ouvert $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , il existe un voisinage $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .

Je viens de la démonter sous les conditions suivantes: les deux fonction $\text{[math]}$ sont continues et si $\text{[math]}$ , alors il existe une suite $\text{[math]}$ qui converge vers $\text{[math]}$ telles que pour tout $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$

J'attends vos réponses, et merci par avance de votre aide.

invite76543456789 · 11/09/2012, 11h20

Salut!
Il faudrait revoir tes notations parce que telle qu'elle ta definition de semi continuité inférieure pour une correspondance ne veut rien dire.
D'autre part il est clair que f et g doivent etre a minima continu. Si tu prends f(x)=l'indicatrice de R privé d'un point, et g(y)=y sur R, ca marche pas.

invite4b03bb8f · 11/09/2012, 11h24

Bonjour à vous,

J'aurai besoin d'aide sur la question suivante.

Étant données deux fonctions $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ définies sur un espace topologique $\text{[math]}$ à valeurs réelles tel que $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .

Considérons la correspondance suivante $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$

Question: Sous quelles conditions la correspondance $\text{[math]}$ est hemicontinue inférieurement?

NB - Définition: On dit qu'une correspondance $\text{[math]}$ est hemicontinue inférieurement au point $\text{[math]}$ si pour n'importe quel ouvert $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , il existe un voisinage $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .

Je viens de la démonter sous les conditions suivantes: les deux fonction $\text{[math]}$ sont continues et si $\text{[math]}$ , alors il existe une suite $\text{[math]}$ qui converge vers $\text{[math]}$ telles que pour tout $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$

J'attends vos réponses, et merci par avance de votre aide.

Merci MissPacMan, Je sais que d'une manière générale ça ne marche pas, mais je cherche sous quelles conditions que ça marche.

invite76543456789 · 11/09/2012, 11h56

Le resultat me semble faux meme si f et g sont continues.
Si tu prends f(y)=-|y| sur R, g(x)=|x| sur R, alors C est reduit a un point.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite4b03bb8f · 11/09/2012, 12h14

Envoyé par MissPacMan

Le resultat me semble faux meme si f et g sont continues.
Si tu prends f(y)=-|y| sur R, g(x)=|x| sur R, alors C est reduit a un point.

Oui je suis d'accord avec toi que ça ne marche pas toujours même avec la continuité de $\text{[math]}$ . Il faut d'autres conditions.

Je viens de la démonter sous cette condition en plus de la continuité: si $\text{[math]}$ , alors il existe une suite $\text{[math]}$ qui converge vers $\text{[math]}$ telles que pour tout $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ .

Ou bien si on suppose que pour tout $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et la concavité de la fonction $\text{[math]}$ . Mais simplement cette condition entraine la précédente.

Merci

Problème de la hemicontinuité inférieure d'une correspondence.

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