Borne inférieure d'une suite de cardinaux.

[invite427a7819]

Bonjour à tous !

Ce problème est tiré d'un DM, que je dois rendre d'ici une semaine. On m'y définit le cardinal d'un ensemble fini comme son "nombre d'éléments".

On pose la grandeur , avec A une partie de N (et ce que j'ai noté avant, un intervalle d'entiers, je suis pas très très à l'aise avec latex, bref).

On doit étudier le cas particulier où , avec un entier supérieur ou égal à 2. On cherche la borne inférieure de .

Mon idée, c'est de calculer l'écart entre deux éléments de A :

Et lorsque n tend vers l'infini, cette somme là tend vers l'infini de même. Donc, l'écart entre deux éléments de A (qu'on a ordonné, au passage, mais tant pis) tend vers l'infini : j'en déduis que , où l est une constante, donc qu'en divisant par n, cela va tendre vers 0, et donc finalement que la borne inférieure vaut 0.

Ca tombe bien, ça m'arrange, j'avais conjecturé ce résultat ! Cependant, ça me semble contre intuitif, parce qu'après tout j'ai une infinité d'éléments dans A, donc à première vue, la limite de S_n(A) devrait être infinie... Sauf qu'apparamment, on ne considère le cardinal comme le nombre d'éléments que si la partie étudiée est finie.

Bref, je suis un peu perdu. Mon raisonnement est-il correct ? Le résultat l'est-il ?

Merci d'avance !
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[Médiat]

Bonjour

On m'y définit le cardinal d'un ensemble fini comme son "nombre d'éléments".

Et comment définissez-vous le nombre d'éléments d'un ensemble ?

On pose la grandeur , avec A une partie de N (et ce que j'ai noté avant, un intervalle d'entiers, je suis pas très très à l'aise avec latex, bref).

On doit étudier le cas particulier où , avec un entier supérieur ou égal à 2. On cherche la borne inférieure de .

C'est ce qui s'appelle la densité de Schnirelmann (à l'orthographe près sans doute)

Personnellement je trouve votre définition peu convaincante, surtout que vous devriez trouver facilement un majorant de en fonction de ...

[inviteea028771]

Ca tombe bien, ça m'arrange, j'avais conjecturé ce résultat ! Cependant, ça me semble contre intuitif, parce qu'après tout j'ai une infinité d'éléments dans A, donc à première vue, la limite de Sn(A) devrait être infinie... Sauf qu'apparamment, on ne considère le cardinal comme le nombre d'éléments que si la partie étudiée est finie.

La limite de est clairement +oo... sauf que la suite tend plus lentement vers l'infini que la suite n, donc le quotient des deux tend vers 0.

Par exemple :
donc

[Seirios]

De toute manière, on peut calculer explicitement : équivaut à (avec E la partie entière). Donc .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite427a7819]

J'avais bien l'impression d'écrire des choses dangereusement approximatives.

Je suppose que les guillemets autour du nombre d'éléments précise qu'il s'agit de la notion intuitive, donc compter les éléments de l'ensemble jusqu'à ce qu'on en trouve plus... On n'a pas encore défini proprement la notion de cardinal.

J'avais penser à essayer de la majorer, de façon beaucoup moins efficace. Cela dit, je vois mal comment utiliser cette suite : S_k^a(A)... Dire que le terme de rang k majore la suite ? Et en déduire, en faisant tendre k à l'infini, que l'autre suite tend elle aussi vers 0 ?


-je lis le message de Seiros à l'instant, une expression explicite m'arrange effectivement pas mal ^^

Merci à tous pour vos conseils =)

[Médiat]

Je suppose que les guillemets autour du nombre d'éléments précise qu'il s'agit de la notion intuitive

C'est quand même gênant de faire un exercice sans avoir les bonnes définitions ; ce qui m'a fait réagir, c'est que la phrase de votre premier post est exactement à l'envers, la bonne formulation aurait pu être :

On définit le "nombre d'éléments" d'un ensemble fini comme son cardinal.

donc compter les éléments de l'ensemble jusqu'à ce qu'on en trouve plus...

Ce qui est un bon début de définition


Pour la majoration : à quelle condition sur , a-t-on ? Il suffit de répondre à cette question pour avoir une majoration

[invite427a7819]

Yep, par croissance de la fonction racine-alphaième, on a , d'où l'on déduit


Et la suite de droite converge bien !

Merci encore !