Bonjour à tous !
Ce problème est tiré d'un DM, que je dois rendre d'ici une semaine. On m'y définit le cardinal d'un ensemble fini comme son "nombre d'éléments".
On pose la grandeur, avec A une partie de N (et ce que j'ai noté avant, un intervalle d'entiers, je suis pas très très à l'aise avec latex, bref).
On doit étudier le cas particulier où, avec
un entier supérieur ou égal à 2. On cherche la borne inférieure de
.
Mon idée, c'est de calculer l'écart entre deux éléments de A :
Et lorsque n tend vers l'infini, cette somme là tend vers l'infini de même. Donc, l'écart entre deux éléments de A (qu'on a ordonné, au passage, mais tant pis) tend vers l'infini : j'en déduis que, où l est une constante, donc qu'en divisant par n, cela va tendre vers 0, et donc finalement que la borne inférieure vaut 0.
Ca tombe bien, ça m'arrange, j'avais conjecturé ce résultat ! Cependant, ça me semble contre intuitif, parce qu'après tout j'ai une infinité d'éléments dans A, donc à première vue, la limite de Sn(A) devrait être infinie... Sauf qu'apparamment, on ne considère le cardinal comme le nombre d'éléments que si la partie étudiée est finie.
Bref, je suis un peu perdu. Mon raisonnement est-il correct ? Le résultat l'est-il ?
Merci d'avance !
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