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Limite supérieure et inférieure suite




  1. #1
    Khaize

    Limite supérieure et inférieure suite

    Bonjour.
    Voila, je revise pour un DS à la rentrée et je ne comprend pas les éléments d'un corrigé d'un exercice.
    Voila l'énoncé:
    Soit (Un) une suite réelle bornée,
    pour tt n apparteant à IN, on note An={Up/p>ou=n}
    On note Rn=inf(An) et Sn=sup(An)

    On d'abord de justifier que Rn<ou=Un<ou=Sn ( Ca je vois pas trop comment faire )
    Puis on nous demande de montrer que (Rn) est croissante et (Sn) est décroissante.
    Pour cette dernière question, le corrigé par de An+1 est inclu dans An pourquoi?

    merci d'avance Khaize

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    klm-66

    Re : Limite supérieur et inférieur suite

    Escuse moi, je ne suis pas rigoureux et je ne rédige pas tres bien mais voici le principe:
    Bon alors :
    An=Up avec p> ou égal à n
    on a Rn=inf(An) donc Rn=inf(Up) apres il est evident que inf(Up)<ou=Un
    donc Rn<ou=Un
    De meme pour Sn
    D'ou Rn<ou=Un<ou=Sn
    ensuite pour montrer que la suite Rn est croissante:
    On a Rn=inf(Up) et Rn+1=inf(Up+1)
    Up=Un+Up+1 donc Up+1 et inclus dans Up
    D'où An+1 inclus dans An
    Ensuite Rn=inf(Up) on pose Un0 cette valeur donc Rn va etre constante jusqu'a ce que n=n0
    donc quelque soit n<ou=n0 Rn=n0
    Rn0+1=inf(Up) , inf(Up)>Un0 car par definition Un0 etait le plus petit terme de la suite et Up ne contient pas Un0.
    de meme pour Sn
    Une récurence pourrait permetre de répondre facilement à la question, en utilisant le principe ecrit ci-dessus

  4. #3
    Khaize

    Re : Limite supérieur et inférieur suite

    Merci pour ta réponce.
    Par contre un point reste obscure, c'est surement logique mais je voit pas:
    tu écrit
    "Rn=inf(An) donc Rn=inf(Up) apres il est evident que inf(Up)<ou=Un" ident ^^
    pourquoi est-ce évident ^^?
    => est-ce parce que pour tt n naturel, inf(Un) <ou= a Un et inf(Up)<ou=inf(Un)?
    encore un petit point : "Up=Un+Up+1 donc Up+1 et inclus dans Up" je comprend pas l'é"g


  5. #4
    Khaize

    Re : Limite supérieur et inférieur suite

    Merci pour ta réponce.
    Par contre un point reste obscure, c'est surement logique mais je voit pas:
    tu écrit
    "Rn=inf(An) donc Rn=inf(Up) apres il est evident que inf(Up)<ou=Un" ident ^^
    pourquoi est-ce évident ^^?
    => est-ce parce que pour tt n naturel, inf(Un) <ou= a Un et inf(Up)<ou=inf(Un)?
    encore un petit point : "Up=Un+Up+1 donc Up+1 et inclus dans Up" je comprend pas l'égalité de départ ^^
    merci encore

  6. #5
    klm-66

    Re : Limite supérieur et inférieur suite

    il faut bien comprendre que Up n'est pas un nombre mais un ensemble de nombre, alors que Un est un nombre
    on a donc Up={Un,Un+1,Un+2...}
    Up+1={Un+1,Un+2,Un+3...}
    Donc Up={Un,Up+1}
    ensuite inf(Up) est la plus petite valeur de l'ensemble Up,
    donc si c'est Un le plus petit inf(Up)=Un
    si c'est Un+1 le plus petit inf(Up)=Un+1 et donc si inf(Up)n'est pas égal a Un sa veux dire qu'il est plus petit que Un
    J'espere que sa t'éclairera un peu plus (meme si ça reste mal expliquer :P)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Khaize

    Re : Limite supérieur et inférieur suite

    Merci. Ne t'inquiète pas tu es clair, c'est moi qui n'avais effectivement pas fait la différence entre Up ensemble et Un nombre ^^.
    Merci pour tes exemples, c'est plus clair maintenant.
    Merci beaucoup et bonne fête de fin d'année

  9. #7
    Khaize

    Re : Limite supérieur et inférieur suite

    --------------------------------------------------------------------------------
    j'ai encore une autre petite question.
    La fin de l'exercice consiste à prouver que si (Un) converge vers l appartenant a IR alors limUn = lim(Rn) = lim(Sn)=l .
    On nous conseille d'utiliser la définition formelle d'une suite.
    J'ai essayer plusieur méthode pour prouver d'abord que l=limrn et ensuite l=limSn mais je n'arrive pas à retomber exactement sur une définition formelle rigoureuse.
    Auriez-vous une idée de comment fonctionner?

  10. Publicité
  11. #8
    klm-66

    Re : Limite supérieur et inférieur suite

    En passant par la définition de la limite tu peut rapidement avoir le résultat je pense

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