Limite supérieure et inférieure suite

[invitea51befa8]

Bonjour.
Voila, je revise pour un DS à la rentrée et je ne comprend pas les éléments d'un corrigé d'un exercice.
Voila l'énoncé:
Soit (Un) une suite réelle bornée,
pour tt n apparteant à IN, on note An={Up/p>ou=n}
On note Rn=inf(An) et Sn=sup(An)

On d'abord de justifier que Rn<ou=Un<ou=Sn ( Ca je vois pas trop comment faire )
Puis on nous demande de montrer que (Rn) est croissante et (Sn) est décroissante.
Pour cette dernière question, le corrigé par de An+1 est inclu dans An pourquoi?

merci d'avance Khaize
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[invite6fdd4333]

Escuse moi, je ne suis pas rigoureux et je ne rédige pas tres bien mais voici le principe:
Bon alors :
An=Up avec p> ou égal à n
on a Rn=inf(An) donc Rn=inf(Up) apres il est evident que inf(Up)<ou=Un
donc Rn<ou=Un
De meme pour Sn
D'ou Rn<ou=Un<ou=Sn
ensuite pour montrer que la suite Rn est croissante:
On a Rn=inf(Up) et Rn+1=inf(Up+1)
Up=Un+Up+1 donc Up+1 et inclus dans Up
D'où An+1 inclus dans An
Ensuite Rn=inf(Up) on pose Un0 cette valeur donc Rn va etre constante jusqu'a ce que n=n0
donc quelque soit n<ou=n0 Rn=n0
Rn0+1=inf(Up) , inf(Up)>Un0 car par definition Un0 etait le plus petit terme de la suite et Up ne contient pas Un0.
de meme pour Sn
Une récurence pourrait permetre de répondre facilement à la question, en utilisant le principe ecrit ci-dessus

[invitea51befa8]

Merci pour ta réponce.
Par contre un point reste obscure, c'est surement logique mais je voit pas:
tu écrit
"Rn=inf(An) donc Rn=inf(Up) apres il est evident que inf(Up)<ou=Un" ident ^^
pourquoi est-ce évident ^^?
=> est-ce parce que pour tt n naturel, inf(Un) <ou= a Un et inf(Up)<ou=inf(Un)?
encore un petit point : "Up=Un+Up+1 donc Up+1 et inclus dans Up" je comprend pas l'é"g

[invitea51befa8]

Merci pour ta réponce.
Par contre un point reste obscure, c'est surement logique mais je voit pas:
tu écrit
"Rn=inf(An) donc Rn=inf(Up) apres il est evident que inf(Up)<ou=Un" ident ^^
pourquoi est-ce évident ^^?
=> est-ce parce que pour tt n naturel, inf(Un) <ou= a Un et inf(Up)<ou=inf(Un)?
encore un petit point : "Up=Un+Up+1 donc Up+1 et inclus dans Up" je comprend pas l'égalité de départ ^^
merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6fdd4333]

il faut bien comprendre que Up n'est pas un nombre mais un ensemble de nombre, alors que Un est un nombre
on a donc Up={Un,Un+1,Un+2...}
Up+1={Un+1,Un+2,Un+3...}
Donc Up={Un,Up+1}
ensuite inf(Up) est la plus petite valeur de l'ensemble Up,
donc si c'est Un le plus petit inf(Up)=Un
si c'est Un+1 le plus petit inf(Up)=Un+1 et donc si inf(Up)n'est pas égal a Un sa veux dire qu'il est plus petit que Un
J'espere que sa t'éclairera un peu plus (meme si ça reste mal expliquer :P)

[invitea51befa8]

Merci. Ne t'inquiète pas tu es clair, c'est moi qui n'avais effectivement pas fait la différence entre Up ensemble et Un nombre ^^.
Merci pour tes exemples, c'est plus clair maintenant.
Merci beaucoup et bonne fête de fin d'année

[invitea51befa8]

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j'ai encore une autre petite question.
La fin de l'exercice consiste à prouver que si (Un) converge vers l appartenant a IR alors limUn = lim(Rn) = lim(Sn)=l .
On nous conseille d'utiliser la définition formelle d'une suite.
J'ai essayer plusieur méthode pour prouver d'abord que l=limrn et ensuite l=limSn mais je n'arrive pas à retomber exactement sur une définition formelle rigoureuse.
Auriez-vous une idée de comment fonctionner?

[invite6fdd4333]

En passant par la définition de la limite tu peut rapidement avoir le résultat je pense