Resolution equation diférentielle

[kepex]

Bonjour,

J'ai un souci, je n'arrive pas à résoudre cette équation différentielle :

y' = (x-y) / (x+y)

Faut-il séparer les variable ?

Je n'y arrive pas, merci d'avance,
Alex
-----

[indian58]

tu changes la forme de l'équation et tu intègres.

[kepex]

Oui je vois, le problème est que je n'arrive pas à changer la forme.

y' (x+y) = x-y
y' (x+y) + y = x
dy/dx (x+y) + y =x

Je vois pas, j'ai l'impression de tourner en rond.
Le problème est que je n'arrive pas à séparer les variables, une fois j'aurai reussi ca, je saurai faire le reste. Et c'est surement tout bête mais la je ne vois pas :/

Merci

[indian58]

considère la forme (xy'+y) + y = x.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

Je poserai la fonction u(x) = x+y(x). Alors u'(x) = 1+y'(x) et l'équation devient :

u'-1 = 2x/u - 1

Ce qui se simplifie en :

u' = (2x)(1/u)

Et ça, c'est non seulement séparable mais aussi facile à calculer

[indian58]

Ou sinon (xy'+y) + y = x s'intègre en xy + 1/2 y² = x² et il n'y a plus qu'à résoudre une bête équation du seconde degré.

[kepex]

Merci Indian58, mais je ne vois pas comment tu trouves (xy' + y) + y = x ?
Moi j'ai (xy' + y'y) + y = x

Je poserai la fonction u(x) = x+y(x). Alors u'(x) = 1+y'(x) et l'équation devient :

u'-1 = 2x/u - 1

Ce qui se simplifie en :

u' = (2x)(1/u)

Et ça, c'est non seulement séparable mais aussi facile à calculer

D'accord je vois, merci Seulement, je vais quand même attendre la réponse de indian58 car je trouve ton truc compliqué. Enfin non c'est pas compliqué, mais je ne penserai pas à ca demain devant ma copie :P Ce n'est pas la méthode qu'on nous apprend en cours en fait. Mais au pire, je sais que je peux faire ca !

[invite6cf1de63]

Ou sinon (xy'+y) + y = x s'intègrerait en xy + 1/2 y² = x²

En fait ce n'est pas y mais y'.y qui s'intègrerait en 1/2 y² (et x le fait en 1/2 x²).

[God's Breath]

L'équation est homogène, l'usage est de résoudre sur et sur en posant : .

On étudie ensuite le raccord des solutions obtenues en 0.

[indian58]

En fait ce n'est pas y mais y'.y qui s'intègrerait en 1/2 y² (et x le fait en 1/2 x²).

Ouh là oui, désolé pour la faute de frappe. Il fallait en effet comprendre l'équation (xy'+y)+yy'=x.