g tel que g(x)=h(x+1/x) ?

[invitec154b59a]

Bonjour,

Je viens d'entrer en prépa pcsi et j'ai un exercice à faire mais je n'y arrive vraiment pas ... Voici l'énoncé :
quelle est la condition nécessaire et suffisante sur la fonction g pour qu'il existe une autre fonction h qui vérifie : g(x)=h(x+(1/x)) (où x>0) ?

J'ai essayé plein de choses mais je ne sais pas comment faire du tout ... J'ai trouvé que x+1/x=1/(x+1/x) donc que f(x)=f(1/x) mais je ne sais pas quoi faire d'autre en fait ...

S'il vous plaît, j'ai vraiment besoin de votre aide ...

Merci d'avance
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[invite14e03d2a]

Bonjour,

Je viens d'entrer en prépa pcsi et j'ai un exercice à faire mais je n'y arrive vraiment pas ... Voici l'énoncé :
quelle est la condition nécessaire et suffisante sur la fonction g pour qu'il existe une autre fonction h qui vérifie : g(x)=h(x+(1/x)) (où x>0) ?

Salut,

as-tu étudié précisément la fonction ? Par exemple, si elle est bijective, alors il n'y a pas de conditions sur g? Si elle n'est pas bijective (et elle ne l'est pas héhé), ses propriétés te donneront des conditions sur g.

Tu peux procéder par analyse-synthèse: trouves des propriétés vérifiées par et vérifie si elles sont ou non satisfaites par g. Toutes ces conditions sont des conditions nécessaires. Quand tu auras trouvé plusieurs conditions satisfaites par g, tu pourras alors tenter de voir si elles sont suffisantes.

J'ai essayé plein de choses mais je ne sais pas comment faire du tout ... J'ai trouvé que x+1/x=1/(x+1/x) donc que f(x)=f(1/x) mais je ne sais pas quoi faire d'autre en fait ...

C'est un très bon début! Par contre, améliore ta rédaction: on ne connait ni l'ensemble de définition de g et de h, ni la définition de f.

Cordialement

[invitec154b59a]

merci pour ta réponse

On a g : défini sur R+* à valeurs dans R, et h on ne sait pas où elle prend ses valeurs (mais x>0)

Oui j'ai étudié la fonction que j'ai posée : u(x) x + 1/x j'ai trouvé qu'elle était bijective sur [1;+li'nfini[

Mais après je n'y arrive pas ...

[invite14e03d2a]

Oui j'ai étudié la fonction que j'ai posée : u(x) x + 1/x j'ai trouvé qu'elle était bijective sur [1;+li'nfini[

bijective de oui, mais sur quel ensemble d'arrivée? Cela te donnera une indication sur l'ensemble de définition de h (même si ce n'est pas une information très utile)

As-tu vérifié que, si g vérifie la condition de l'énoncé (i.e. si h existe), alors g vérifie pour tout y>0? Si c'est vrai, alors tu as obtenu une condition nécessaire? Est-elle suffisante?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec154b59a]

Oui j'ai trouvé que c'était une condition nécessaire, mais je n'arrive pas à montrer qu'elle est suffisante ...

[invite14e03d2a]

Tu as pourtant tous les éléments en main!


Je note la fonction définie sur par (*). On sait que vérifie et que est bijective de sur . Je note la restriction de à .

Soit g une fonction de dans .

Si g est telle qu'il existe h vérifiant , alors satisfait aussi la propriété (*). Réciproquement, si g satisfait la propriété (*), montrons qu'il existe une fonction h telle que . Pour cela, on pose . Par conséquent, pour tout , on a . Donc sur . Mais g vérifie (*), donc pour , on a , puisque satisfait (*). Finalement, on a bien .