groupe

[invite371ae0af]

Bonjour,

J'aurai des questions sur 2 démonstrations: Soient (G,*) (G',v) 2 groupes et f un morphisme de G dans G'. g un morphisme de G' dans G.

1) f est un isomorphisme ssi f est bijective
mon problème est quand on suppose f bijective: pour moi on devrait montrer que f est un morphisme mais dans la démo que j'ai on montre que c'est f^-1 qui est un morphisme. Pourquoi?


2)L'ensemble des automorphismes sur G (Aut(G)) est un groupe pour la loi de composition o
Comment montre-t-on que tout f dans Aut(G) admet un symétrique? J'aurai fais cela:
f est bijective donc f^-1of=id et fof^-1=id par définition d'une bijection.


Merci de votre aide
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[inviteea028771]

Pour la 1), si f est bijective et f^-1 est un morphisme, alors f est aussi un morphisme :

f^-1(f(x+y)) = x+y = f^-1(f(x)) + f^-1(f(y)) = f^-1( f(x)+f(y) )

et comme f^-1 est bijective, f(x+y) = f(x)+f(y)

Le choix de montrer que f ou f^-1 est un morphisme est donc arbitraire (on choisi le plus simple )

Pour la 2, oui, c'est ça

[invite371ae0af]

d'accord merci pour ta réponse rapide