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  1. #1
    369

    groupe


    ------

    Bonjour,

    J'aurai des questions sur 2 démonstrations: Soient (G,*) (G',v) 2 groupes et f un morphisme de G dans G'. g un morphisme de G' dans G.

    1) f est un isomorphisme ssi f est bijective
    mon problème est quand on suppose f bijective: pour moi on devrait montrer que f est un morphisme mais dans la démo que j'ai on montre que c'est f-1 qui est un morphisme. Pourquoi?


    2)L'ensemble des automorphismes sur G (Aut(G)) est un groupe pour la loi de composition o
    Comment montre-t-on que tout f dans Aut(G) admet un symétrique? J'aurai fais cela:
    f est bijective donc f-1of=id et fof-1=id par définition d'une bijection.


    Merci de votre aide

    -----

  2. #2
    Tryss

    Re : groupe

    Pour la 1), si f est bijective et f^-1 est un morphisme, alors f est aussi un morphisme :

    f^-1(f(x+y)) = x+y = f^-1(f(x)) + f^-1(f(y)) = f^-1( f(x)+f(y) )

    et comme f^-1 est bijective, f(x+y) = f(x)+f(y)

    Le choix de montrer que f ou f^-1 est un morphisme est donc arbitraire (on choisi le plus simple )

    Pour la 2, oui, c'est ça

  3. #3
    369

    Re : groupe

    d'accord merci pour ta réponse rapide

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