Contradictions mathématiques

[Evil.Saien]

Bonjour à tous,
suite a un autre post où on débatait de postulats et autres, il arrive toutefois qu'il y ait des contradictions mathématiques, c'est-à-dire que pour un problème posé, on arrive à plusieurs solutions sans pour autant faire d'erreurs.
Le cas (un des cas) le plus flagrant est 0^0 = 1.
Il est possible de démontrer que 0^0 = 1, mais aussi de démontrer que 0^0=0 !
Je vous invite a jeter un oeil sur les autres sujets de ce site interessant...
http://faq.maths.free.fr/texte/faq13.html

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[isozv]

slt

je ne vois aucune démonstration dans le lien que tu nous a donnée mais beaucoup de bricolage.

Par ailleurs le début commence mal : "0^0 = 1 est une convention..."

pfffffffff... n'importe quoi !!! c'est pas une convention faut qu'il revoie ces cours de terminale.

[martini_bird]

Salut Evil.Saien,

ta remarque et ton interrogation sont justifiées, mais le mot "contradiction" n'est pas adéquat. En effet, il s'agit d'une difficulté inhérente aux logarithmes: en effet, la définition de a^b est rigoureusement exp(b log(a)). Or le loagrithme n'est pas défini en 0.

En teminale, comme les élèves ne font que de l'analyse réelle, on peut prolonger par continuité la fonction x->x^x en 0. Cependant, celà n'apporte rien, sinon une certaine confusion: le mieux est de dire que 0⁰ n'existe pas tout comme 1/0.

En poussant un peu dans les études, on peut construire d'autres ensembles sur lesquels les choses sont plus agréables. Par exemple, on peut compléter le corps des nombres complexes avec un point qui représente l'infini (sphère de Riemann / complété d'Alexandroff) ou avec une droite qui représente l'infini (plan projectif). En ce qui concerne les logarithmes, on peut le définir sur la surface de Riemann associé, mais malgré tout, 0⁰ n'est pas défini.

La rigueur est donc de mise, et chaque fois qu'un rigolo démontre que 0=1, c'est qu'il y a une erreur de raisonnement plus ou moins subtil.

Cordialement.

[invite6b1a864b]

salut !
Je suis content que ça discute...
En tout cas, si je me base sur les mathématiques admises, je me souvient avoir appris que

lim(0^x)=0

mais que

0^0=1..

Ce qui n'est en rien impossible...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Evil.Saien]

Il n'empeche que je trouve l'éxplication de ce "paradoxe" vraiment douteuse, voir limite foireuse...
http://perso.wanadoo.fr/therese.evei...xtes/fibo1.htm

[invite51f4efbf]

Il est possible de démontrer que 0^0 = 1, mais aussi de démontrer que 0^0=0 !

Et donc comme me le souffle Harkhih à l'instant 0 = 1 CQFD

[martini_bird]

Il n'empeche que je trouve l'éxplication de ce "paradoxe" vraiment douteuse, voir limite foireuse...
http://perso.wanadoo.fr/therese.evei...xtes/fibo1.htm

Salut,

ce "paradoxe" (sorite) est dû à Lewis Caroll: l'explication est effectivement succinte. Une autre façon de lever l'ambiguïté est de comparer les "pentes" (tangentes d'angles bien choisis) du coté commun au triangle et au trapèze dans la figure reconstituée.

[invite547a2e93]

I. Approche analytique

les résultats obtenus pour l'approche analytique (abusivement appelée topologique) semblent très convaiquants. Pour parvenir à les démontrer, l'auteur part de deux résultats admis implicitement :

1) les fonctions x^0 , 0^x et x^x sont continues en 0.

2) lim ( f(x) ^ g(x) ) = (lim f(x)) ^ (lim g(x))

Cependant : pour l'assertion 1), rien ne prouve que ces fonction sont continues en 0 et donc que la définition de 0^0 via ces fonctions est pertinente. en réalité, le problème va plus loin : la fonction h(x,y) = x^y n'est pas continue en zéro. la contradiction démontrée ici n'est en fait qu'un simple problème d'étude de continuité via des fonctions partielles.

l'assertion 2) est plus grave car elle est tout simplement FAUSSE et ARCHI FAUSSE (il y a des contre-exemples à la pelle). les seules opérations autorisé sur les calculs de limites sont l'addition est la multiplication ; et uniquement dans les cas CONVERGENT ! les rares cas sortant du cadre convergent se démontrent un par un de façon séparé. par de théorie générale !

II. Approche algébrique

cette approche est intérréssante uniquement si on rappelle avant comment on définit les puissances de zéro :

on prend un nombre à la puissance n comme suit : x^n = x*x*......*x (x multiplié avec lui même n fois)
on peut ensuite prendre la puissance n-1 en divisant le résultat précédent par x. En effet cela reviendra à n'avoir multiplié x par lui même que n-1 fois.
si on refait se procédé suffisement de fois, on est revenu à x^1 = x.
Mais on n'est pas obligé de s'arrêter à diviser en si bon chemin et on peut continuer en faisant à chaque fois chutter l'exposant de 1.
C'est uniquement de cette manière qu'on peut définir x^0, x^(-1), x^(-2) etc...
Si vous avez bien suivi, la contradiction devient évidente : ON NE PEUT PAS DIVISER PAR ZERO !

la démonstration algébrique est donc fausse.

III. Approche ensembliste

l'approche ensembliste pose aussi quelques problèmes :

1) si la "multiplication" d'ensemble est bien définie (même si la dénomination est un peu abusive), il en est pas de même pour son action réciproque : la "division d'ensemble". S'il existe des divisions d'ensemble, elles n'ont rien avoir avec le sens que vous lui donnez. En effet, on ne peut pas créer des n_uplets à partir des éléments de l'ensemble vide... puisque l'ensemble vide n'a pas d'éléments !

2) le deuxième problème posé par votre démonstration est plus simple : il n'y a PAS d'application de l'ensemble vide dans lui même ! par définition même de la notion d'application !



Je termine mon réquisitoire par une simple remarque : vous parlez du début à la fin de l'objet mathématique 0^0 sans nous définir mathématiquement (et rigoureusement) qui il est. Ceci pose un gros problème.

J'admet qu'il existe en effet bon nombre de paradoxes passionnants en mathématiques (je peux vous en fournir tant et plus si vous le souhaitez), mais les seules vraies contradictions mises à jour ont toujours été démontrés foireuses.

[Médiat]

il n'y a PAS d'application de l'ensemble vide dans lui même ! par définition même de la notion d'application !

Par définition d'une application, l'ensemble vide est une application de l'ensemble vide dans lui même (c'est d'ailleurs la seule).

Vous devriez lire ce fil : http://forums.futura-sciences.com/ma...nir-0-0-a.html

[invite547a2e93]

l'ensemble vide est un ensemble, pas une application...

[Amanuensis]

Même si vous ne connaissez pas la définition ensembliste d'une application, pourquoi refusez-vous une application d'ensemble de départ quelconque ?

La définition générale "usuelle" est "une application est une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier (appelé ensemble de départ ou source) est relié à un unique élément du second (l’ensemble d'arrivée ou but)". Il n'y a aucune contrainte sur l'ensemble de départ.

[Médiat]

l'ensemble vide est un ensemble, pas une application...

C'est vous qui vous êtes placé dans une théorie ensembliste, et dans ce cadre, une application est un ensemble !

Si vous lisez le lien que je vous ai fourni, vous y trouverez la définition d'une application.

[invite547a2e93]

au temps pour moi, j'ai essayé de réfuter une thèse adverse mais suis allé trop vite et me suis un peu vite et me suis emballé...

cependant, ce point ne remet pas en question mon réquisitoire qui explique que le document fourni par Evil.Saien tend à nous expliquer que 0^0 vaut à la fois 1 et 0 et que ça serait une IMMENSE contradiction au sein même des mathématiques, alors qu'il ne définit pas une seule fois (et de manière parfaitement mathématique, rigoureuse etc...) quel est l'objet mathématiques 0^0 qui est manipulé.

le texte que tu as posté sur ton lien semble plus rigoureux. je prendrai un peu de temps pour le lire.