Physique et mathématiques

[mariposa]

Bonjour,


Cette petite histoire pour montrer, sur un exemple ultra-simple la difficulté d'articuler les mathématiques et la physique et donc aussi d'enseigner le "couplage" entre ces 2 matières.

Supposons qu'un élève de Lycée ait suivi un cours de math sur les vecteurs. Il apprend notamment l'addition des vecteurs, la multiplication d'un vecteur par un nombre, la representation d'un vecteur dans une base orthonormée donc des choses de bases simples faciles à assimiler.
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Ce même élève enchaîne dans un cours de physique.Le prof explique le mouvement d'une particule dans un plan. Il represente, sur le tableau, la particule à l'instant t par un rayon vecteur r de composantes (x,y) et un vecteur vitesse V de composantes (Vx, Vy) attaché à ce point.
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L'éleve pose alors la question:
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Que signifie l'addition du vecteur r et du vecteur V ?

r + V

Quel serait l'objection du prof de physique?
Quel serait l'objection du prof de mathématiques?
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Bien sur on suppose que le prof de mathématiques répond par une objection mathématique.
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[pephy]

bonjour,
le prof de physique devient tout rouge et s'écrie:"c'est pas homogène!"
le prof de maths ?

[mariposa]

bonjour,
le prof de physique devient tout rouge et s'écrie:"c'est pas homogène!"
le prof de maths ?

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Et oui, mais le prof de math qui s'est appliqué à montrer l'addition des vecteurs que va-t-il répondre? tout est là!
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Et après il faudra savoir qui a raison et qui a fait une "faute" pédagogique.

[martini_bird]

Salut,

Quel serait l'objection du prof de physique?
Quel serait l'objection du prof de mathématiques?

L'objection à quoi ? r+V ? Je n'ai pas compris ta question.

Sinon, je crois que la difficulté que tu soulignes vient de ce qu'on considère en réalité deux espaces (celui des positions et celui des vitesses). Il y a en outre un isomorphisme tacite fait entre les deux, ce qui permet de représenter les deux vecteurs sur un même plan. On peut via cette isomorphisme définir le vecteur somme en mathématique, qui sera en physique le rayon-vecteur de la particule à l'instant t+1 unité de temps.

Du reste, je crois que la notion de rayon-vecteur n'est peut-être pas la plus appropriée : il serait certainement préférable de voir le déplacement de la particule comme action d'un groupe de translation sur le plan affine ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

"c'est pas homogène!"

On peut rétablir l'homogénéité facilement en écrivant : r+Vt, avec unité de temps.

Cordialement.

[mariposa]

Salut,


L'objection à quoi ? r+V ? Je n'ai pas compris ta question.

Sinon, je crois que la difficulté que tu soulignes vient de ce qu'on considère en réalité deux espaces (celui des positions et celui des vitesses).

Merci de ta réponse de mathématicien. En effet les 2 vecteurs n'appartiennent pas au même espace, ce qui rend l'addition impossible. C'est donc le prof de math qui fournit la bonne réponse. L'argument de l'homogénéité du prof de physique est efficace mais dangereux car les 2 quantités auraient pu avoir la même dimension.

Il y a en outre un isomorphisme tacite fait entre les deux, ce qui permet de représenter les deux vecteurs sur un même plan. On peut via cette isomorphisme définir le vecteur somme en mathématique, qui sera en physique le rayon-vecteur de la particule à l'instant t+1 unité de temps.

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Par contre je ne comprends pas bien ton argument d'isomorphisme tacite.
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En attendant je te donne mon point de vue qui donne une légitimité mathématique à representer ces 2 vecteurs dans le même plan. En effet ce sont 2 tenseurs de rang 1 ce qui veut dire que dans un changement de base les composantes se transforment de la même façon, ce qui veut pratiquement dire que r et V font un angle constant.
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Si l'on voir un isomorphisme implicite est que à V j'associe un vecteur r(V) qui represente V dans l'espace des r.

Cordialement

[Ludwig]

Bonjour,

Petit rappel :

Historiquement c’est William R. Hamilton qui aux alentours de 1843 et Hermann G. Grassmann un an plus tard (1844) qui introduisent le calcul vectoriel. C'est surtout Hamilton qui influença le développement de la théorie au travers de l’algèbre des quaternions qui est une extension du calcul des nombres complexes.
Par la suite ce sont Gibbs et Heaviside, qui s’inspirant des travaux de Grassmann, donnèrent au calcul vectoriel sa forme à peu près définitive.
L’apport d'Heaviside à l'analyse vectorielle se trouve rassemblé dans un ouvrage en trois volumes : Electromagnetic Theory (1893, 1899, 1912). C’est le premier volume qui contient un long chapitre sur les méthodes d’analyse vectorielle.
Les physiciens ont rapidement compris l'utilité et l'efficacité des méthodes de Gibbs et de Heaviside. Ils les adoptèrent rapidement. Les mathématiciens, eux plus réticents, ne sont monté dans le train que bien plus tard.

Je ne suis pas sur que l’on puisse exclusivement se préoccuper du formalisme de l’analyse vectorielle (aspect mathématique) sans se préoccuper de l’application à un domaine de la physique.
A mon avis cela devrait être fait en même temps, exposé théorique + application.
Le message privé de miketyson42 (j’ai un peu corrigé les fautes d’orthographe) est éloquent.

Bonsoir Ludwig,
tout d'abord merci de ta réponse sur le sujet que j'avais posté sur les produits vectoriel et scalaire.

Je t'écris un message privé pour, si cela ne te dérange pas, que tu complètes légèrement ton explication car c’est la seule qui ma parue clair.

Le produit vectoriel me pose plus vraiment de problème grâce à tes explications.

Ce qui me dérange vraiment c le produit scalaire, déjà je ne comprends pas ce qu'est un scalaire (je sais ça crains!), d’après ce que tu ma dit, le produit vectoriel c’est compréhensible que si on cherche un mouvement perpendiculaire un applique le produit vectorielle.

Mais comment savoir quand on utilise ce fameux produit scalaire? Un produit vectoriel est utilisé lorsqu’on veut étudier une notion de perpendicularité mais un produit scalaire c’est lorsque que l'on étudie quoi?
(Exemple pour le travail effectué par une force pourquoi fait-on fait: la force scalaire X la distance et pourquoi on n’aura pas fait une multiplication a la place ou pourquoi on n’aura pas fait autre chose?)

Une autre petite question car tu ma parlé de Q et P:
* P c'est en fait un produit scalaire (de U et I)???
* Q est un produit vectoriel (de U et I) ???

Merci pour tes réponses bon weekend

Je ne suis pas sur que le cas de miketyson42 soit un cas isolé. A la lecture de ce message on peut se rendre compte combien difficile est la transmission de la connaissance.

Cordialement

Ludwig

[martini_bird]

Par contre je ne comprends pas bien ton argument d'isomorphisme tacite.

Je voulais simplement dire que l'espace des positions et des vitesses sont ici tous les deux isomorphes à .

Cordialement.

[Rincevent]

salut

Du reste, je crois que la notion de rayon-vecteur n'est peut-être pas la plus appropriée : il serait certainement préférable de voir le déplacement de la particule comme action d'un groupe de translation sur le plan affine ?

le problème étant toutefois que ces notions sont pas facilement explicables à un étudiant lambda de physique (ou mème pas de physique mais d'un domaine qui utilise la physique) qui fuit en courant dès qu'un vocabulaire trop mathématique est employé...

dès qu'on fait des trucs un peu plus "avancés" (genre physique quantique ou RG), on travaille avec des outils mathématiques qui permettent d'éviter ce genre de confusions car on introduit bel et bien plusieurs espaces (et la notion de "rayon vecteur" est d'ailleurs mise au placard), mais pas facile de le faire dans le cadre newtonien si on s'adresse (par exemple) à des lycéens, or faut bien faire de la physique newtonienne avant d'avoir vu certaines notions mathématiques...

je dis ça, mais en même temps je pense que pour les étudiants qui vont aller en deuxième cycle de physique, ça serait utile de faire des cours de "reformulation de la physique newtonienne" avant de commencer des trucs du genre MQ ou RG...

Je ne suis pas sur que l’on puisse exclusivement se préoccuper du formalisme de l’analyse vectorielle (aspect mathématique) sans se préoccuper de l’application à un domaine de la physique.

et inversement : si on restreint trop l'enseignement d'un outil mathématique à son application dans un domaine de la physique, on risque de "créer" des étudiants avec un manque de recul sur le sujet et ainsi incapables d'appliquer l'outil à d'autres domaines de la physique...

par ailleurs, impossible d'avoir un enseignement qui contente chacun...

[mariposa]

Je ne suis pas sur que le cas de miketyson42 soit un cas isolé. A la lecture de ce message on peut se rendre compte combien difficile est la transmission de la connaissance.

Cordialement

Ludwig

Oui bien sûr, la transmission des connaissances est plus ou moins difficile.
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S'agissant, du cas de Miketyson, personnellement j'ai été à coté de la plaque. En effet au vu de sa question et de son age j'ai voulu expliquer l'origine commune du produit scalaire et du produit vectoriel alors que sa demande correspondait à la vision géométrique classique.
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Personnellement je trouve agréable de trouver une explication adaptée à la personne, le problème est qu'il est difficile de détecter les connaissances de l'interlocuteur. il y a sur ce forum des collégiens, des lycéens, des étudiants voire en thèse, des profs de lycée et d'université, des chercheurs des autodidactes de très grandes envergure etc...

[mariposa]

je dis ça, mais en même temps je pense que pour les étudiants qui vont aller en deuxième cycle de physique, ça serait utile de faire des cours de "reformulation de la physique newtonienne" avant de commencer des trucs du genre MQ ou RG...

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Je prends au vol ta notion de reformulation. Je pense que les enseignements de physique d'un niveau donné devraient être plus pratiques suivient d'évolutions qui passe par des reformulations associés à de nouveaux outils mathématiques.

Pour reprendre l'exemple de la physique de Newton la reformulation en termes de relativité galiléenne permet de comprendre rapidement la relativité restreinte.
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Il y a bien des reformulations implicites: Par exemple quand en mathématiques on explique ce qu'est un espace vectoriel on reformule la vision pedestre usuelle d'où l'étudiant doit comprendre qu'un vecteur ce peut-être n'importe quoi, par exemple des fonctions ou des matrices.
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Bref il faudrait avoir une véritable stratégie de progression, ce qui est loin d'être le cas.

[Ludwig]

Bonjour

salut

et inversement : si on restreint trop l'enseignement d'un outil mathématique à son application dans un domaine de la physique, on risque de "créer" des étudiants avec un manque de recul sur le sujet et ainsi incapables d'appliquer l'outil à d'autres domaines de la physique...
...

Je suis évidement d'accord qu'il faut les deux approches, on commence par l'application d'une part, puis on se dirige vers la généralisation. L'expérience m'a montrée que les principes sont mieux compris dès lors que l'on peux s'appuyer sur des applications.

par ailleurs, impossible d'avoir un enseignement qui contente chacun...

C'est évident je dirai

Cordialement

Ludwig

[hterrolle]

Merci Mariposa,

je trouve se post d'une grande valeur. C'est vrai qu'il y une tres grande difference entre un bouqins de physique qui presente les phénomènes physique comme des equations ou la division et la multiplication sont sont les outils principaux. Par contre dés que l'on aborde l'algebre linéaire donc les mathématique (aux sens d'outils). Il est tres difficile de comprendre comme ont peux passer de l'un a l'autre.

Pour ma part, puisque (si ne ne me trompe pas) se post prends une approche pédagogique. Je pense qu'i serait interressant que l'enseignement de la physique fasse un pont directe avec l'approche mathématique. Il serait il me semble (en tout cas pour moi) interressant d'expliquer au etudiant comment utiliser les deux outils (l'algebre classique et l'algebre linéaire) a partir d'un même exemple.

omment passe d'une representation D=vt a r + V. Afin qu'il puisse integrer les deux notions en même temps. Parce que c'est beaucoup plus difficile d'integrer une nouvelle representation alors que l'on nous a basiner pendant des années avec une autres.

J'espere ne pas être trop a cote du sujet.