espaces vectorielles

[invite9d748f36]

salut ,
voici que j'ai essayé de résoudre cet exercice mais je n'est pas pu le faire en sa totalité je doit passé au tableau et j'espère que vous m'aider


Exercice 3 :
Soit E=ℝ3 espace vectoriel sur ℝ . Soit F={( x , y , z )∈ E , 2 x+y+z=0} et G la droite vectorielle engendrée par U=(1,2,1).
1. Montrer que F est un sous espace vectoriel de E et que c'est un plan vectoriel.
2. Pour X =( x , y , z) quelconque dans E , déterminer Y dans F et Z dans G tels que X =Y +Z . En déduire que F et G
sont supplémentaires dans E .



voici que j'ai montrer que f est un sev , et j'ai admis que la forme de son equ ressemble a celle d'un plan qui s'écrit sous la forme de :
U.OM=O avec U(2,1,1) et OM(x,y,z)

pour la question 2 :je n'est pas pu trouver X=Y+Z mais pour la supplémentarité j'ai pensé a montrer que l'intersection est nulle , alors pour G son equ s'ecrit sous la forme : x+2y+z=0 ,
soit X qui appartient à (F inter G) alors on aura le systeme : 2x+y+z=0 et x+2y+z=0 ce qui donne que : z=-3y et x=y .... je ne sias quoi faire
s'il vous plaît veuillez m'aider
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[invite9d748f36]

salut!!!

[invite10ceed08]

bonsoir,

pour la premiere question tu peux considerer la forme lineaire suivante;
phi:E->R
phi(x,y,z) = 2x+y+z
Alors F est le noyau de phi ce qui implique que c'est un E.V. de dimension dim(E)-1=2

Pour la deuxieme question, tu fais fausse route sur l'intersection puisque ton equation "x+2y+z=0" n'est pas l'equation de la droite!
Par exemple on a (x,y,z) = lambda.U avec lambda coefficient reel

[invite9d748f36]

bonsoir , merci beaucoups de votre bienveillance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9d748f36]

salut, s'il vous plaît je n'ai pas encore saisi l'equation de la droite