incompréhension de ce que je dois faire !

[invite4b0b4f95]

Bonjour à vous tous,
j'aimerais vous solliciter pour un énoncé d'exercice. Je ne souhaitte pas que vous le fassiez pour moi car ça ne m'aiderait pas mais j'aimerais bien que vous m'expliquiez ce que veut dire l'énoncé car je ne comprend pas du tout !
c'est déjà dans un chapitre de comparaisons de fonctions si ça peut vous aider et je suis en 1eS.

x est un réel positif ou nul.
Etablissez successivement, à l'aide d'études des variations de fonctions bien choisies, les inégalités suivantes.
a) sin x inférieur ou egal à x
b) 1 - (x²/2) inférieur ou égal à cos x
c) x - (x^3/6) infarieur ou égal à sin x
d) cos x inférieur ou égal à ( 1 - (x²/2) + (x^4)/24.

( d'ailleur si quelqu'un pouvait me dire ou se trouve le signe inférieur ou égal ce serai sympa car c'est un peu illisible ! merci d'avance )
Donc ce que je ne comprend pas c'est ce verbe établissez ! là on a des fonctions normales et on doit se servire de dérivés ? ou par exemple pour le a) on utilise la différence x - sinx et on étudie les variations ? et est-ce que a) b) c) et d) sont toutes reliées ? aidez-moi svp je suis vraiment perdue !
merci
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[phen]

Salut Ptitecurieuse,

ben oui comment tu l'as senti on definit f(x) = x - sin x et on étudit le signe grace à la dérivée ... ce qui permet de conclure sur l'inegalité.

Bon ensuite tu remarques que la fonction du a) est en fait la dérivée de la fonction du b) et ainsi de suite !
ce qui te facilite les études suivantes

[Brikkhe]

Pour le signe il faut taper [.tex] \leq [/tex] sans le point dans la 1ère balise

@pluche!

[rna]

Bonjour,

A première vue, il faut étudier les variations de la différence, donc par exemple pour a) celles de sin(x)-x, ceci comme d'habitude en utilisant le signe de la dérivée.

Sauf pour la première, chaque question dépend de la précédente. L'inégalité précédente permet de connaitre le signe de la dérivée.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b0b4f95]

Merci Brikkhe pour le !!! sauf que je sais le faire que d'un coté ...
Pour étudier la différence de sin(x)-x je doi bien garder ces valeur la car sinon je ne vois pas quelle dérivé utiliser ? ou alors la fonction x sa dérivé c 1 car c'est le coefficient directeur ou x n'est pas une fonction ? sinon x - sin x a pour dérivé 1-cosx et on sait que cosx a pour maximum un dc la le résultat de la différence est positif ou nul donc sinx x c ça le raisonnement ?

[Brikkhe]

ba pour l'autre sens, tu remplace \leq par \geq tu obtiens

@pluche!

[invite4b0b4f95]

Salut Ptitecurieuse,

ben oui comment tu l'as senti on definit f(x) = x - sin x et on étudit le signe grace à la dérivée ... ce qui permet de conclure sur l'inegalité.

Bon ensuite tu remarques que la fonction du a) est en fait la dérivée de la fonction du b) et ainsi de suite !
ce qui te facilite les études suivantes

en faite ça c'est bon j'ai compris comment démontrer l'inégalité ! mais je ne saisis toujours pas le lien entre a) b) c) et d) pour moi la fonction du a) n'est pas la dérivée de la fonction du b ! la dérivé du b) j'obtiens (-1/2)x. j'ai peut être fait une faute de calcul...?
encore merci brikkhe mtn je sais faire des deux côtés !!!

[invite2a222fea]

Salut,

Sinon x - sin x a pour dérivé 1-cosx et on sait que cosx a pour maximum un dc la le résultat de la différence est positif ou nul donc sinx x c ça le raisonnement ?

le début est bon mais la fin pas du tout. Tu poses ta fonction f(x)= x - sin(x). Comme tu l'as dit la dérivée est f'(x) = 1 - cos(x) qui est toujours positive ou nulle. Jusque là ça va.

Comme ta dérivée est => 0 (sup ou égale) tu en conclut que ta fonction est croissante. Tu cherches ensuite le point d'annulation (unique car la fonction est monotone) et comme tu a 0 - sin(0) = 0 tu en conclus que la fonction est négative avant 0 et positive après. (si tu vois pas tout de suite fait un tableau de signe c'est plus clair)

Voilà j'espère que j'ai été clair. A+

[invitebb921944]

Pour le b), tu tentes d'étudier le signe de :

cosx-(1-x²/2)
si je dérive cette expression, j'obtiens :
-sinx+x
Or, le signe de cette expression, tu l'as déterminé juste avant !

Pour info, (x^n)'=n(x^(n-1))

[invite4b0b4f95]

Salut,



le début est bon mais la fin pas du tout. Tu poses ta fonction f(x)= x - sin(x). Comme tu l'as dit la dérivée est f'(x) = 1 - cos(x) qui est toujours positive ou nulle. Jusque là ça va.

Comme ta dérivée est => 0 (sup ou égale) tu en conclut que ta fonction est croissante. Tu cherches ensuite le point d'annulation (unique car la fonction est monotone) et comme tu a 0 - sin(0) = 0 tu en conclus que la fonction est négative avant 0 et positive après. (si tu vois pas tout de suite fait un tableau de signe c'est plus clair)

Voilà j'espère que j'ai été clair. A+

Oui c'est bon j'ai tout compris à ce que tu m'as dit mais est-ce que c'est vraiment nécessaire dans l'exercice ? sachant que l'on considère x comme réel positif ou nul ? on a donc f croissante et positive ?

[invite2a222fea]

mais je ne saisis toujours pas le lien entre a) b) c) et d) pour moi la fonction du a) n'est pas la dérivée de la fonction du b ! la dérivé du b) j'obtiens (-1/2)x. j'ai peut être fait une faute de calcul...?

f(x) = 1 - (x²/2) - cos(x)
f'(x) = 0 - (1/2)*2x + sin (x)
f'(x) = -x + sin (x)
f'(x) = - (x - sin(x) )

tu retrouve l'opposé de la fonction du a) en fais pour faire plus simple tu aurais pu étudier sin(x) - x au lieu de x - sin(x) dans le a). Avec quelques petites adaptations tu retrouve le même résultat et pas besoin de passer à l'opposé pour faire le b).

[invitebb921944]

Oui c'est nécessaire !
Si tu étudies la fonction :
f : x -> (-x²)

Tu as beau avoir x réel positif ou nul, ta fonction est toujours négative ou nulle.

[invite2a222fea]

sachant que l'on considère x comme réel positif ou nul ? on a donc f croissante et positive ?

Oui voilà c'est ça. Enfin dans ce cas précis ça marche mais c'est le hasard ça n'a rien de général.

[invite4b0b4f95]

Pour le b), tu tentes d'étudier le signe de :

cosx-(1-x²/2)
si je dérive cette expression, j'obtiens :
-sinx+x
Or, le signe de cette expression, tu l'as déterminé juste avant !

Pour info, (x^n)'=n(x^(n-1))

oui j'avais fait une faute de calcul mais maintenant j'obtient -sin x- x pourquoi toi t'obtiens + x ?
c'est bien :
f(1- x²/2)' = u'(x) - v'(x)
avec u(x) = 1 donc u(x)' = 0
et v(x)= x²/2 donc v'(x) = 2x/2
on a donc 0 - 2x/2 = -x

[invite2a222fea]

Attention t'a oublié un - . Tu trouve bien f'( 1 - x²/2) =-x
mais tu étudies cos(x) - (1 - x²/2) = cos(x) - f(x). Que tu dérives donc en -sin(x) - f'(x) = -sin(x) + x

[invite4b0b4f95]

f(x) = 1 - (x²/2) - cos(x)
f'(x) = 0 - (1/2)*2x + sin (x)
f'(x) = -x + sin (x)
f'(x) = - (x - sin(x) )

tu retrouve l'opposé de la fonction du a) en fais pour faire plus simple tu aurais pu étudier sin(x) - x au lieu de x - sin(x) dans le a). Avec quelques petites adaptations tu retrouve le même résultat et pas besoin de passer à l'opposé pour faire le b).

ok en fait j'avais fait en 2 calculs différents pour mon deuxième calcul c'est pour ça que j'avais une faute de signe je vais refaire avec sin (x) - x ! merci pour le conseil

[invite4b0b4f95]

x - sin x a pour dérivé 1-cosx et on sait que cosx a pour maximum un donc la le résultat de la différence est positif ou nul donc sinx x .

et après en continuant j'obtiens que b) est la dérivé de c) mais est ce que je dois refaire le meme raisonnement que au début en disant que cosx a pour maximum 1 et le dire aussi pour sin ou il y a une possibilité de me resservir des résultats obtenus. car j'arrive pas à profiter du fait que les résultats sont tous liés.

[invite4b0b4f95]

dsl de vous embeter en faite j'avais poser la question mais je n'avais fait que jeter des idées en vrac sur ma feuille du coup j'avais pas tout le raisonnement mais ça en découle...merci pour vos explications très clairs..et pour la méthode ! a bientôt !