Problème sur les dérivations

[invite60ab18c5]

Bonsoir a tous!
il y a un exercice sur la derivée que je n'arrive pas a resoudre..merci par avance pour votre aide!!!

ENONCE:
1.Démontrez que l'équation cos x = x
admet dans l'intervale [-pi/3 ; pi/3] une unique solution.

2.donner un encadrement d'amplitude 10^-2 de cette solution.

RESOLUTION:
Alors donc j'ai mis soit f(x)=cox-x

je calcule sa derivé: f'(x)= -sin x -1

Et là je bloque parce que je n'arrive pas a resoudre l'équation -sinx-1=0 pour trouver l'unique solution..

Parce que donc j'ai mis que sinx = -1 et quand je regarde dans le cercle trigonometrique, je trouve 3pi/2 et -pi/2 mais il reste -1...merci de votre aide!!
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[doryphore]

Si tu calcules la dérivée, c'est pour montrer la stricte monotonie de la fonction sur ton intervalle. Tu dois donc montrer que la dérivée est strictement négative sur l'intervalle en question, ce que tu as déjà partiellement fait...

[invite60ab18c5]

tout d'abord merci de m'avoir repondu!

En effet, j'ai voulu faire un tableau de signe mais ce qui me gène c'est le -1 car du coup je ne trouve pas le x pour lequel f'(x)=0 car j'ai uniquement trouvé pour -sinx=0 ....

[doryphore]

Pas besoin de faire un tableau de signe puisque le signe ne change pas sur ton intervalle de définition.

Il te suffit de dire que la dérivée de cette fonction dérivable est est strictement négative et donc que la fonction est strictement décroissante.

Après, tu utilise un théorème du cours de math que moi, j'appelle théorème des valeurs intermédiaires et tu as fini...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite60ab18c5]

mais malgré tout les deux solutions trouvées ne font pas parties de l'intervalle car puisque que j'ai trouvé 3pi/2 et -pi/2 et aucun des deux n'appartient a l'intervale [-pi/3; pi/3]

[doryphore]

Ce que tu cherches, ce sont les solutions de l'équation de départ, pas les nombres qui annulent la dérivée.

Comme la dérivée ne s'annule pas sur [-pi/3;pi/3] tu vas pouvoir dire que la fonction f(x)=cos x- x est strictement décroissante sur ton intervalle.

Après tu regardes f(-Pi/3) et f(Pi/3) et tu vas remarquer qu'ils sont de signes contraires. Donc du fait de la stricte monotonie de ta fontion, f s'annule une seule fois sur cet intervalle (cf cours).

[invite60ab18c5]

ah oui d'accord!!!!!!!!!!!!!!!

Alors ensuite, pour le 2),donc puisque la fonction est strictement décroisssante sur cet intervalle, alors on peut imaginer un nombre Z dont f(Z) est compris entre[-sin(-pi/3)-1 ; -sin(pi/3)-1]
et que Z est compris entre [-pi/3; pi/3] .

Par ailleurs on sait quef(Z)=0 ...

mais là après je suis concée

[invitebb921944]

Il faut faire des tests pour la question 2.
En gros tu essaies des valeurs comprises dans l'intervalle jusqu'à arriver à une précision de 10^-2 et là tu as ton encadrement !
Evidemment, il faut essayer de faire ça intelligemment sinon t'en as pour une bonne heure à essayer toutes les valeurs.
Cette méthode s'appelle la dichotomie.

[invite60ab18c5]

oula en effet...mais que veux tu dire par " faut essayer de faire ça intelligemment " ?

[doryphore]

C'est normal que tu sois coincé puisque tu travailles à nouveau avec la dérivée alors que c'est avec la fonction f(x)= cos x - x que tu dois travailler, la dérivée ne sert qu'à prouver la stricte monotonie.

[invitebb921944]

lol fais ça comme tu le sens et ça devrait aller !

[invite60ab18c5]

lol
Je suis allee, avec ma calculette, sur "table" , j'ai entré l'équation y=cox-1 , puis ensuite j'ai inseré x= -pi/3
et un autre x= pi/3 et ça m'a donné 1E^4 mais je ne pense pas que cela soit ça...

[invitebb921944]

Le but est de résoudre f(x)=0 et pas f'(x)=0
Tu as calculé la dérivée pour montrer en gros qu'il existait une unique solution dans l'intervalle [-Pi/3;Pi/3] à l'équation f(x)=0.
Maintenant que tu sais qu'elle existe, tu peux la chercher !

Tu peux faire quelques calculs :
f(-Pi/3)>0
f(Pi/3)<0
f(0)>0 (je prends 0 car je divise l'intervalle en 2 pour commencer)

f(Pi/3)<0 et f(0)>0, la fonction change de signe, elle passe donc par 0 sur l'intervalle [0;Pi/3]
Ainsi, j'ai r&#233;duit l'intervalle.
Il faut continuer &#224; appliquer cette m&#233;thode jusqu'&#224; avoir une bonne approximation de x tel que f(x)=0

[invite60ab18c5]

a d'accord j'ia compris mais donc puisque le nombre se situe dans l'intervalle [o; pi/3] ,
quand j'ai fait:
cos(pi/3)-(pi/3) ; en effet cela a aussi changé de signe mais c'est deja a puissance -2...

[doryphore]

N'oublie pas que c'est cos x - x pas cos x - 1 qui doit valoir 0...

[invite60ab18c5]

oui je viens de reéditer mon message je me suis trompée en ecrivant ma reponse mais tout de même..je trouve ,comme je l'ai indiqué, un resultat a la puissance-2 près...

[invitebb921944]

cos(pi/3)-(pi/3) ; en effet cela a aussi changé de signe mais c'est deja a puissance -2...

Je ne comprends pas ce que tu veux dire.

[doryphore]

Ce n'est pas parce qu'il y a un chiffre des centièmes non nul que tu connais la réponse à la précision désirée.

[invite60ab18c5]

en fait, j'ai donc essayé de trouver la solution à 10^-2 près. Donc dans l'intervalle [0,pi/3] j'ai pris par exemple pi/3 :

cos x -x devient cos(pi/3)-(pi/3)= à un nombre a la puissance de -2 et c'est ce que l'enonce demandait non?

[doryphore]

Ca ne veut rien dire qu'un nombre est à 10 puissance -2.

[invite60ab18c5]

enfin je veux dire qu'il est a 10^-2 près ,c'est à dire 0,01 près

[doryphore]

Ca veut dire quoi alors qu'un nombre est à 10^-2 près ?

[invitebb921944]

cos x -x devient cos(pi/3)-(pi/3)= à un nombre a la puissance de -2 et c'est ce que l'enonce demandait non?

T'es en train de me dire que :
cos(Pi/3)-Pi/3= 0.0a en gros (remplace a par un chiffre entre 0 et 9.
Tu cherches à trouver x tel que f(x)=0.0a
cos(Pi/3)-Pi/3 c très loin de faire 0 !

[invite60ab18c5]

1E-4 ; je devrais plutôt l'ecrire en effet 1X 10^-2

[invite60ab18c5]

T'es en train de me dire que :
cos(Pi/3)-Pi/3= 0.0a en gros (remplace a par un chiffre entre 0 et 9.
Tu cherches à trouver x tel que f(x)=0.0a
cos(Pi/3)-Pi/3 c très loin de faire 0 !

moi je trouve que c'est egal a -0,047364571...

[invitebb921944]

dans ce cas faudrait peut-être penser à changer de calculette.

[invite60ab18c5]

pourtant j'ia fais le calcul plusieurs fois!!!
tu trouves combien toi?

[doryphore]

1E-4 , c'est 1 x 10 ^(-4), mais là n'est pas la question, ce que tu cherches c'est le nombre tel que cos x - x = 0 et tu dois commencer d'après la méthode de la dichotomie par cos(0) - 0 = 1, comme 1>0 et que ta fonction est décroissante, il faut regarder sur [0; PI/3], tu prends Pi/6, tu fais cos(pi/6) - pi/6, tu trouves 0.3424... Comme ce nombre est >0, ta solution est comprise entre Pi/6 et Pi/3 (pi/3 - pi/6 ~= 0.52 donc on n'a pas l'approximation du résultat à 10^-2 près, alors on continue...
f(3pi/12)~= -0.078.. donc la solution appartient à l'intervalle [pi/6 ; 3 pi /12 ] et la précision est d'environ 0.26.., on continue ...

[invitebb921944]

cos(Pi/3)-Pi/3=-0.5471975...

[doryphore]

moi je trouve que c'est egal a -0,047364571...

Avant de changer de calculatrice, mets la en mode radians, ça ira mieux, là tu es en mode degré..