Calculer la limites par définition.

[inviteb013cc4b]

Bonsoir !
Svp j'ai un petit problème, je suis en 2ème année du bac (oui je sais, c'est un forum pour l'enseignement supérieur mais en cherchant j'ai découvert qu'en france on ne calcul les limites par définition qu'après le bac, je suis actuellement au Maroc) et le prob nous a demandé de calculer(ou démontrer, plutôt) la limite d'une fonction par définition:
f(x)= x²+3x-2
Démontrer par difinition que Lim _x->1 f(x)= 2
Je sais bien que je dois démontrer que
Pour tout epsilon>0, il existe un alpha>0 ; pour tout x appartenant à R, si |x-1|<Alpha alors |f(x)-2|<=epsilon
Oui, mais comment procéder svp ?
Avant, quand on a fait un exercice d'application, on avait une question juste avant, qui nous demande de démontrer que "Quelque soit x appartenant à (une intervale) |f(x)-L|< a*|x-x0| ... Et on se servait de cette démonstration pour démontrer la limite par définition.

J'espère que vous voyez de quoi je parle, et merci de m'aider le plutôt possible
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[ketchupi]

bonjour,

f est bien définie en 1. Le plus simple est de calculer f(x) -2, puis de poser x = 1. Vous aurez votre réponse.

Cordialement.

[gg0]

Bonjour.

Je ne pense pas que la réponse de Kechupi puisse te satisfaire, Agadir-Boy. Voici ce que j'ai finalement compris quand j'étais à ta place (il y a longtemps, en France, quand on faisait ça en première) :
La question est d'arriver à faire la démonstration de l'implication. Or l'implication n'est possible que pour des alpha convenables, suffisamment petits (*); et cette petitesse dépend de epsilon. Donc il faut chercher le alpha qui convient. Pour cela, on va commencer en écrivant |f(x)-2|<=epsilon et chercher quelle condition peut le permettre : on fait des implications à l'envers. Bien entendu on utilise des réécritures de f(x)-2 qui conviennent. ici, deux idées : f(x)-2 s'annule pour x=1, donc on peut le factoriser par x-1; et comme on veut que x soit proche de 1 (suffisamment), on peut toujours lui imposer de l'être suffisamment pour que ça nous arrange dans les calculs (sauf de lui demander de ne pas pouvoir s'éloigner de 1 d'un côté ou d'un autre, ou des deux) : par exemple, d'être compris entre 0 et 2.
Je te laisse commencer, si tu bloques, explique ce que tu as fait (avec les calculs) et où tu es arrêté.

Cordialement.

(*) si on remplace alpha par une valeur plus petite, beta, on a :
|x-x0|<beta =>|x-x0|<alpha =>|f(x)-L|<epsilon

[inviteb013cc4b]

Bonjour,
Merci ketchupi pour ta réponse, mais il est totalement clair qu'on peut calculer la limite de calculant l'image de x, vue que la fonction est définie quand x est égale à 1 ... Mais notre prof, qui aime bien nous faire ch*er, nous a demandé de le démontrer en utilisant la définition de la limite

gg0, je te remercie pour ta réponse, c'est sympa hein...
Dites-moi svp je peux commencer en démontrant la limite à droite, puis à gauche, puis conclure ?
-La définition pour la limite à droite/gauche est comme la première définition, il faut juste changer |x-x0|<alpha par x-x0<alpha ou >aplha

N'est-ce pas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[andromedae]

c'est simple pour montrer une application (par Ex: p==>q) tu supposes que p est vrai et tu montre que q est vrai

[inviteb013cc4b]

andromedae, oui, mais cette implication là, elle n'est certainement pas simple ! Vue que "p" dépends de "q" : parce qu'on dit au début quelques soit Epsilon, il y aura Alpha... :/

[andromedae]

bon pour résoudre ton probléme essaye de posé: x=-1+h donc f(-1+h)-2=h²-5h
on a pour ts h de ]-1,1[ : |f(-1+h)-6| (inferieur ou egal) 6|h|
on a lim(x=>0)=0 donc lim(x=>0) f(-1+h)-6=0 d'ou on a lim(x=>1) f(x)=2
ne fait pas copier coller !

[andromedae]

POUR la troisieme ligne c est lim(x=>0) |6h| = 0

[andromedae]

pardon j ai fait une faute de calcul
|f(-1+h)-2) (inferieur ou egal) 2|h|

[andromedae]

remplace 6 par 2 j ai cru que la limite est egal a 6

[gg0]

Agadir-Boy :

Dites-moi svp je peux commencer en démontrant la limite à droite, puis à gauche, puis conclure ?

Oui, on peut toujours faire compliqué quand c'est simple. Mais comme chacune des preuves de limite à gauche et à droite est aussi compliquée que la preuve que tu as à faire, tu perds ton temps (j'ai surtout l'impression que tu ne te mets pas au travail pour faire ton exercice !!).

Cordialement.

[Wasse]

Bonjour a tous j ai un problème sur la limite par définition on me demande de montrer que la limite de (6x-1)/(2x^2 +2) donne 0 lorsque x tend vers l infini je sais bien que je dois chercher un A>0 tel que pour tout x appartenant au domaine de définition x>A implique que valeur absolue de f de x <epsilon pour tout epsilon positif bien sur je pose bien |(6x-1)/(2x^2+2)|<a epsilon mais je n arrive pas a trouver un A tel que x>A merci pour l aide

[gg0]

Bonjour.

Manipuler l'expression (6x-1)/(2x^2 +2) est assez compliqué, mais heureusement, on veut seulement la majorer (en valeur absolue).
prenons le cas x --> +oo. Pour x >1/6 (*), (6x-1)/(2x^2 +2)>0, donc pas besoin de la valeur absolue. Comme 6x-1<6x et 2x²+2>2x², on a
(6x-1)/(2x^2 +2)<(6x)/(2x²)=3/x
Et si on sait trouver x tel que 3/x<epsilon, c'est gagné.
Je te laisse finir ce cas, puis voir comment traiter le cas x--> -oo

Cordialement.

(*) si nécessaire, on rajoutera cette condition à la fin, en prenant epsilon aussi supérieur à 1/6

[Wasse]

Merci bien mais j ai un petit problème quand tu dis que si 6x-1<6x et que 2x^2+2>2x^2 alors leur division est inférieur a 3/x

[gg0]

Quel problème ? J'applique les règles classiques sur les inégalités (à bien connaître quand on veut traiter les problèmes de limites).

[gg0]

Rappel :