lois de probabilités discrètes

[asura]

Bonjour tout le monde,

Alors voilà, je résolvais tranquillement mes exercices de probas quand soudain j'arrive en face d'un problème qui à l'air de prime abord assez simple mais qui s'est avéré assez complexe !!

Le voici ;

Supposons que l'on sélectionne, par tirages aléatoires avec remise (AR), un échantillon de 100 femmes.
Soit la v.a. "U" qui compte le nombre de femmes de l'échantillon qui ont eu au plus 5 enfants.

Sachant que le nombre de femmes dans cet échantillon qui ont eu au plus 5 enfants est au plus égal à
97, quelle est la probabilité pour que ce nombre soit au moins égal à 94 ?


Et voici le nombre d'enfants x suivi de (->) leurs fonctions de répartition F(x) = P(X ≤ x)
0 -> 0.05
1 -> 0.20
2 -> 0.45
3 -> 0.65
4 -> 0.85
5 -> 0.95
6 -> 1

Au vu des grands nombres qui constitue le problème j'ai tout d'abord penser à résoudre celui-ci à l'aide de la loi de poisson mais les nombres obtenus sont juste beaucoup trop grands ( des nombres à 143 chiffres parfois !!!), comment résoudre ce problème ? Par quoi commencer quand on voit ce genre de questions ? Quelle est la marche à suivre , le cheminement intellectuel pour arriver à obtenir une réponse selon vous ?

Je vous remercie d'avance pour vos réponses !
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[gg0]

Bonjour.

Je ne comprends pas ton allusion à la loi de Poisson. Veux-tu dire que tu approximerait la loi binomiale évidente par une loi de Poisson ? Dans ce genre de situation, ce n'est pas une très bonne idée.
J'ai par contre une difficulté à t'aider, car ton énoncé est assez surprenant. En particulier la phrase
"Sachant que le nombre de femmes dans cet échantillon qui ont eu au plus 5 enfants est au plus égal à 97, quelle est la probabilité pour que ce nombre soit au moins égal à 94 ?"
Qui demande la probabilité que 97 soit égal à 94. Et ensuite, il y a une fonction de répartition (de quoi ???) qui donne 95. bel embrouillamini.

Peut-on avoir l'énoncé exact ?

Cordialement.

[asura]

Bonjour gg0,

Je tient tout d'abord à te remercier pour avoir pris le temps de me répondre !

Ensuite, je dois bien avoué que l'énoncé peux paraître quelque peu confus ! Alors le voici dans son entièreté :

On considère une population de femmes de 55 ans ou plus. Soit la variable aléatoire X qui associe à
toute femme sélectionnée au hasard dans cette population, le nombre d'enfants auxquels elle a donné
naissance. La distribution de probabilité de X est la suivante:

Le nombre d'enfants x suivi de (->) leurs fonctions de répartition F(x) = P(X ≤ x)
0 -> 0.05
1 -> 0.20
2 -> 0.45
3 -> 0.65
4 -> 0.85
5 -> 0.95
6 -> 1

Supposons que l'on sélectionne, par tirages aléatoires avec remise (AR), un échantillon de 100 femmes.
Soit la v.a. "U" qui compte le nombre de femmes de l'échantillon qui ont eu au plus 5 enfants.

Sachant que le nombre de femmes dans cet échantillon qui ont eu au plus 5 enfants est au plus égal à
97, quelle est la probabilité pour que ce nombre soit au moins égal à 94 ?

Il s'agit au fait d'une probabilité conditionnelle selon moi que l'on pourrait noté comme suit : P( X>=94 | X<=97 ) = P(X=94) + P(X=95) + P(X=96) + P(X=97)

Comme on nous dit que la probabilité d'avoir AU PLUS 5 enfants = 0.95, j'ai remarqué que cela était plus grand que 0.1, la loi de poisson ne peux donc pas être appliqué. En effet notre lambda serait égale 0.95*100=95, ce qui est beaucoup trop grand pour pouvoir encodé ça dans une calculatrice.

Peut-être alors aurait-il fallu voir le problème dans son sens inverse, quelle proba pour avoir PLUS de 5 enfants ? donc 6 enfants ce qui correspond à 0.05 ( dans le tableau ci-dessus ). Ici notre lambda est égale à 5 mais il y'a un autre problème, c'est celui des factorielles au dénominateurs; 96! est une chiffre énorme encore une fois impossible à encoder dans la calculatrice.

En fait, je pense m'emmêler les pinceaux avec plusieurs lois, je ne sais pas par où commencer pour cet exercice, d'où ma question sur la marche à suivre , le cheminement intellectuel pour arriver à obtenir une réponse.

Comment t'y prendrais-tu pour résoudre ce type de problèmes ?

[gg0]

Ok.

Donc on te demande une proba conditionnelle, il te suffit d'appliquer la formule en calculant P(U <= 97) et P(94<=U et U <= 97). La loi de U est connue, n'importe quel tableur en donne les probas cumulées. Une autre méthode possible est d'utiliser la loi de 6-U.

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[asura]

Je n'ai rien compris ... Quelle est la loi de U ? Qu'est-ce qu'un tableur et qu'est-ce que la loi 6-U ?

[gg0]

1) La loi de U est dans ton cours (cet exercice est une application d'un cours de probas sur les lois classiques de variables aléatoires, ou sur l'échantillonnage). U est le nombre de réussite à l'épreuve : "a-t-elle au plus 5 enfants ?" lors de 100 tirages indépendants (car avec remise)
2) Un tableur est un outil informatique de calcul sous forme de tableau. par exemple Calc de Open Office (ou Libre Office), ou Excel.
3) Pour 6-U, c'est une confusion de ma part, c'est 100-u qui est intéressant, le nombre de femme qui ont plus de 6 enfants.

Cordialement.

[asura]

ok, merci, c'est plus clair maintenant !!!

[gg0]

Sous réserve que l'on parle d'un échantillon "à priori" (pas d'un échantillon réellement tiré, pour lequel il n'y a plus rien d'aléatoire - c'est confus dans ton énoncé), U suit la loi binomiale B(100, 0.95). Un tableur permet les calculs nécessaires. V=100-U est le nombre de femmes qui ont strictement plus de 5 enfants, et suit la loi B(100, 0.05). On peut contrôler les résultats obtenus avec U en approximant la loi de V par une loi de Poisson (attention, il s'agit d'une approximation, donc les résultats obtenus par la loi de Poisson sont légèrement faux).

Cordialement.