Bonsoir,
J'ai un DM à faire et j'ai quelques difficultés à faire une question, j'espère que vous pourrez m'aider... (Je m'excuse d'avance pour la rédaction du pb, je ne sais pas vraiment, voire pas du tout, rédiger un pb mathématique sur ordinateur...)
On définit une suite dn(N)=somme de k=1 à N-1 de (k/N)^n quand N≥2. Quand n->+oo on a donc dn(N) ->0 puisque pour tout k de [1,N-1], (k/N)<1.
On a Tn=Sup(U1,...Un) où tous les Ui suivent une loi uniforme sur [1,N] et on trouve V(Tn)=(2N-1)dn(N)-2Ndn+1(N)-(dn(N))² (c'est une réponse donnée par l'énoncé).
On demande la limite de V(Tn), donc je trouve 0 mais après on nous demande de montrer que :
lim en +oo de dn+1(N)/dn(N)=1-1/N
En reprenant juste la formule de la variance et en divisant par dn(N), je trouve lim=1-1/2N
J'avais donc pensé à un encadrement en disant que (dn(N))²≥dn(N) ce qui me donne : (2N-2)dn(N)-2N(dn+1(N))≥V(Tn), les deux termes tendent vers o en n->+oo et en divisant (2N-2)dn(N)-2N(dn+1(N)) par dn(N) puis en faisant la limite, je trouve ce qu'il faut. Mais je ne suis pas certaine que ce passage là soit juste : (dn(N))²≥dn(N).
Si vous pouviez m'éclairer...
Par ailleurs, pouvez-vous me préciser le lien entre Sup(U1,...Un) et Inf(U1,...,Un) svp ?
Merci d'avance et...
...Joyeux Noël !
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