composé de fonstion

[invite7d706be7]

est ce que vous pouver m'aider a faire cet exercice
si fof(x)=x admet une solution dans IR alors f(x)=x admet une solution
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[inviteaf1870ed]

Je pense que tu oublies une hypothèse, qui est la continuité de f.
Avec cette hypothèse, je te propose la solution suivante.

Soit a la solution de fof(x)=x, et b=f(a). On a donc f(b)=f(f(a))=a

La fonction g(x)=f(x)-x est continue car f est continue. Or g(a)=f(a)-a=b-a; et g(b)=f(b)-b=a-b.

Donc g(b) et g(a) sont de signes différents, et il existe c entre a et b tel que g(c)=0.

QED

Les hypothèses sont indispensables, on peut trouver des contre-exemples si f n'est pas définie sur IR - par exemple f(x)=-1/x, ou si f n'est pas continue...que je laisse à la sagacité du lecteur