Vecteurs propres et base?

[invite584b82df]

Bonjour,

Je souhaiterais savoir si, pour deux valeurs propres distincts, les vecteurs propres peuvent-ils être colinéaire?

Et aussi, on me demande de compléter cette base avec l'un des trois choix, or j'ai l'impression qu'il y a une erreur car les deux premier vecteurs sont colinéaire?

Quel vecteur permet de compléter {c(0,1,2); c(2,1,0)} en une base ?
Choix 1 : c(0, 1, 0)
Choix 2 : c(1, 1, 1)
Choix 3 : c(3, 2, 1)


Bref ça m'embrouille...

Merci en tout cas!
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[Amanuensis]

Je souhaiterais savoir si, pour deux valeurs propres distincts, les vecteurs propres peuvent-ils être colinéaire?

Non, du fait même qu'on parle de fonctions linéaires. Si f(v) = kv, alors f(av)=k(av).

les deux premier vecteurs sont colinéaire?

Pourquoi pensez-vous que c'est le cas ?

[HGP]

bonjour,

les vecteurs propres ne sont pas liés, ils sont indépendants, et donc pas colinéaires. les vecteurs propres forment une base.

Il est possible de constituer d'autre vecteurs à partir des vecteurs propres, et ces vecteurs peuvent former à leur tour une base s'ils ne sont pas liés.

cdt,

[taladris]

les vecteurs propres forment une base.

C'est faux. Déjà, parce qu'une application linéaire peut ne pas avoir de valeur propre (si le corps de base n'est pas algébriquement clos). Ensuite, parce que s'il existe une valeur propre et que le corps de base n'est pas fini, alors il y aura une infinité de valeur propre. Le théorème est "un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il existe une base de vecteurs propres".

les vecteurs propres non nuls pour des valeurs propres différentes ne sont pas liés.

Je souhaiterais savoir si, pour deux valeurs propres distincts, les vecteurs propres peuvent-ils être colinéaire?

S'ils sont non nuls, non! On a même plus fort: si a et b sont deux valeurs propres distinctes d'un même endomorphisme f, alors les sous-espaces propres E(a) et E(b) (i.e. les sous-espaces constitués respectivement des vecteurs propres de a et de b) sont en somme directe.


Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite584b82df]

Merci beaucoup pour tous vos conseilles!

Si j'ai bien compris, je ne peux avoir deux vecteurs colinéaires pour deux valeurs propres distincts, maisest -il possible d'avoir le vecteur nul? Il serait colinéaire à tout vecteur non?

De plus je pense avoir compris mon erreur pour compléter ma base de vecteur, seul le premier choix ne s'écrit pas comme combinaison linéaire des deux autres.

Bon weekend à vous trois

[invite584b82df]

Merci beaucoup pour tous vos conseils!

Si j'ai bien compris, je peux avoir deux vecteurs propres colinéaires entre eux pour deux valeurs propres distincts si au moins l'un des deux vecteurs propres est nul, sinon ce n'est pas possible.

De plus je pense avoir compris mon erreur pour compléter ma base de vecteur, seul le premier choix ne s'écrit pas comme combinaison linéaire des deux autres, c'est ça?

Bon weekend à vous trois

[taladris]

Salut,

Si j'ai bien compris, je ne peux avoir deux vecteurs colinéaires pour deux valeurs propres distincts, maisest -il possible d'avoir le vecteur nul? Il serait colinéaire à tout vecteur non?

Les définitions: soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E. Alors:
1) Soit dans K (le corps de base de E). Alors est valeur propre de f s'il existe un vecteur non nul v dans E tel que .
2) Soit une valeur propre de f et w dans E. Alors w est un vecteur propre de f associé à la valeur propre si .

Note que dans la définition 1), on impose à v d'être non nul, sinon tout scalaire serait une valeur propre. Cependant, dans la deuxième définition, il est préférable (*) de considérer le vecteur nul. La raison est que dans ce cas, l'ensemble des vecteurs propres associés à une valeur propre donnée est un sous-espace vectoriel de E.

Autrement dit, pour tout scalaire , on considère le sous-espace . Dans la majorité des cas, il est de dimension 0. Dans les autres cas, on appelle valeur propre de f.

Cordialement





(*) Quelques auteurs imposent aux vecteurs propres d'être non nuls, ce qui n'est pas très pratique d'après ce qui précède.

[HGP]

C'est faux. Déjà, parce qu'une application linéaire peut ne pas avoir de valeur propre (si le corps de base n'est pas algébriquement clos). Ensuite, parce que s'il existe une valeur propre et que le corps de base n'est pas fini, alors il y aura une infinité de valeur propre. Le théorème est "un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il existe une base de vecteurs propres".







S'ils sont non nuls, non! On a même plus fort: si a et b sont deux valeurs propres distinctes d'un même endomorphisme f, alors les sous-espaces propres E(a) et E(b) (i.e. les sous-espaces constitués respectivement des vecteurs propres de a et de b) sont en somme directe.


Cordialement

Désolé pour la réponse erronée, des souvenirs en vrac, ca m'apprendra à ne pas relire les cours...