exercice peoba j'ai pas compris la correction

[invitecebc3143]

j'ai pas compris la correction de cet exercice
voici l' enoncé:
un gardien de nuit doit ouvrir une porte dans le noir ,avec nclefs dont une seule est la bonne . on note x le nombre des essaisnecessaires pour trouver la bonne clef.
1)on sippose que le gardien les clefs une à une sans utiliser 2 fois la meme .donner la loi de x et E(x).
correction pour la premiere partie du question:
p(x=1)=1/n

p(x=2)=((n-1)/n)*(1/n-1)=1/n{là vraiement je commence à ne pas comprendre
p(x=3)=((n-1)/n)*((n-2)/(n-1))*(1/(n-2))=1/n
p(x=k)=1/n la reponse est vraiment compréhensible mais l'ambiguité c'est dan ce qui précede
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[inviteea028771]

Pour trouver la bonne clé du premier coup, il y a 1/n (il faut tomber dessus directement)

Pour trouver la bonne clé au 2ème essai, il faut :
- ne pas la trouver au 1 er essai : probabilité 1-1/n
- la trouver au second essai (parmi les n-1 clés restantes), donc probabilité 1/(n-1)

D'ou P(x=2) = (1-1/n)(1/(n-1) ) = 1/n

Et pour la trouver a l'essai k :
- ne pas la trouver à l'essai 1 : proba 1-1/n
- ne pas la trouver ensuite à l'essai 2 (une chance sur les n-1 clé restantes) : proba 1-1/(n-1)
- ...
- ne pas la trouver à l'essai k-1 (une chance sur les n-k+1 clé restantes) : proba 1-1/(n-k+1)
- la trouver à l'essai k : proba 1/k

P(x=k) = (1-1/n)(1-1/(n-1) )(1-1/(n-2) )...(1-1/(n-k+1) )(1/k)

Et ça se simplifie en 1/n

[invitecebc3143]

merci tré bonne explication