Produit de polynômes et factorisation.

[invitefd3c8bd7]

Bonjour, pouvez-vous m'aider à résoudre cet exo s'il vous plaît ?

Déterminer le polynôme produit des polynômes P1(x)=x²-ax+1 et P2(x)=x²+ax+1.
En déduire factorisation de P(x)=x^4+1

J'ai fait la première partie et j'ai trouvé que P1(x)*P2(x)=x^4+2x²+1=(x²+1)².
Pour la factorisation j'avais pensé à P(x)=(x²+1)²-2x²mais cela n'aboutit à rien.

Merci pour votre aide.
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[invitefd3c8bd7]

Pour la factorisation, j'avais pensé à P(x)=(x²+1)²-2x²=(x²+1+(racine2)x)(x²+1-(racine2)x) ???

[PlaneteF]

J'ai fait la première partie et j'ai trouvé que P1(x)*P2(x)=x^4+2x²+1=(x²+1)².

Bonsoir, ... Non, ce n'est pas çà (le "a" il est passé où dans tout çà )

[PlaneteF]

(...) j'avais pensé (...)

Oui çà c'est bon ... mais tu "avais pensé" (sic) comment, vu que ton résultat précédent n'était pas bon ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefd3c8bd7]

Ah oui je me suis trompée, excusez-moi.
En fait, P1(x)*P2(x)=(x²-ax+1)(x²+ax+1)=x^4+ax^3+x²-ax^3-(ax)²-ax+x²+ax+1=x^4+2x²-(ax)²+1=x^4+x²(2-a²)+1 ou=x^4+((racine2)x-ax)((racine2)x+ax)+1 ????

[PlaneteF]

x^4+x²(2-a²)+1

Laisse ton calcul sous cette forme, c'est-à-dire celle d'un polynôme.

A noter, que l'on peut aussi remarquer que l'expression d'origine est sous la forme d'un produit remarquable , et donc on peut aussi calculer comme suit :












Et donc pour avoir la factorisation de , il suffit d'annuler le terme en , et donc il suffit de prendre et de le remplacer dans l'expression factorisée du produit des 2 polynômes.

[invitefd3c8bd7]

Merci pour votre aide mais j'ai pas très bien compris pour la factorisation. Pourriez vous me réexpliquer s'il vous plaît?

[PlaneteF]

Merci pour votre aide mais j'ai pas très bien compris pour la factorisation. Pourriez vous me réexpliquer s'il vous plaît?

On vient de démontrer que :

Pour avoir dans le 2^e membre, il suffit de choisir (tu pourrais choisir aussi ), valeur que tu peux alors reporter dans le 1^er membre qui est bien la forme factorisée du 2^e membre, à savoir , à savoir ce que te demande l'énoncé !

[invitefd3c8bd7]

Donc, en fait si j'ai bien compris P(x)=x^4+1=x^4+x²(2-a²)+1=(x²-ax+1)(x²+ax+1) si a=racine2 ou -racine2 ,?
Et donc P(x)=(x²-(racine2)x+1)(x²+(racine2)x+1)

[PlaneteF]

Donc, en fait si j'ai bien compris P(x)=x^4+1=x^4+x²(2-a²)+1=(x²-ax+1)(x²+ax+1) si a=racine2 ou -racine2 ,?
Et donc P(x)=(x²-(racine2)x+1)(x²+(racine2)x+1)

Oui ... d'ailleurs tu avais déjà donné ce résultat dans ton message #2, ... mais je ne sais pas comment tu y étais parvenu, puisque tu n'avais pas la bonne forme pour la question 1) ?!