Exo applications et ensembles

[ladyk]

Bonjour à tous, j'ai un exercice que je n'arrive pas à faire, si vous pouviez m'aider svp :
Soient E un ensemble non vide et A,B deux parties non vides de E. On considère l’application g : P(E) ---> P(E)2
X -----> (X∩A,X∩B)
1. Montrer que:g est injective <---> AuB = E.
2. Montrer que g n’est pas surjective.

MERCI BEAUCOUP
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[taladris]

Salut,

Soient E un ensemble non vide et A,B deux parties non vides de E. On considère l’application g : P(E) ---> P(E)2
X -----> (X∩A,X∩B)
1. Montrer que:g est injective <---> AuB = E.

On n'est pas là pour faire les exercices à ta place. Qu'as-tu essayé? Qu'est-ce qui pose problème?

Faire un dessin (diagramme de Venn) pourrait t'aider beaucoup.

2. Montrer que g n’est pas surjective.

Il me semble qu'on peut prouver que g est surjective si et seulement si A et B sont disjoints.

Cordialement

[ladyk]

bien sûr je ne demande pas à ce qu'on fasse l'exercice à ma place, mais je ne vois pas par où commencer pour le début.. pour qu'elle soit injective il faut que g(c)=g(d) ---->c=d, mais je ne vois pas où je dois remplacer c et d

[ladyk]

ah voila j'ai calculé g(E) et g(Aub) pour montrer qu'elles sont égales, et comme g injective, alors E=AUB, après je fais la réciproque..

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

bien sûr je ne demande pas à ce qu'on fasse l'exercice à ma place, mais je ne vois pas par où commencer pour le début.. pour qu'elle soit injective il faut que g(c)=g(d) ---->c=d, mais je ne vois pas où je dois remplacer c et d

Pour la réciproque, tu supposes que . Si , tu dois montrer que . Comme c'est une égalité entre deux ensembles, tu dois montrer une double inclusion: tu prends c dans C et tu montres qu'il appartient à D. Puis tu prends d dans D et tu montres qu'il appartient à C (en fait, la deuxième partie est inutile par symétrie du problème). Pour montrer les deux inclusions, tu dois évidement utiliser le fait que et et l'hypothès de départ.

Cordialement.

PS: En utilisant les fonctions indicatrices, on peut obtenir une preuve quasi immédiate je crois.