ensembles et applications

[invite319fe712]

Bonsoir pouvez vous m'aider sur cette question?
soit E un ensemble non vide
montrer qu'il n'existe pas de surjection entre de E vers P(E)
ind: on pourra raisoner par l'absurde et considerer {x
merci d'avance.
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[Médiat]

Bonsoir pouvez vous m'aider sur cette question?
soit E un ensemble non vide
montrer qu'il n'existe pas de surjection entre de E vers P(E)
ind: on pourra raisoner par l'absurde et considerer {x
merci d'avance.

Bonjour,

Si on pose (Pour une démonstration formelle dans ZF il faut préciser : Y est bien un ensemble grace à l'axiome de compréhension).
Comme et comme est une bijection, donc une surjection, alors il existe un tel que .

Il n'y a que deux cas possibles : soit , soit ; dans le premier cas
...
et dans le deuxième
...

Je te laisse finir (en regardant la définition de ).

[invite341bf20d]

{x
.

Comment un élément x peut appartenir à un autre élément y ou f(x) ???
Est ce que tu es sure que l'énoncé est écrit comme ça ?

[Médiat]

Comment un élément x peut appartenir à un autre élément y ou f(x) ???

Qu'est-ce qui empèche un ensemble d'être élément d'un ensemble (voire lui-même (sauf avec axiome de fondation)) ? Par exemple un "élément" x de E appartient à {x} qui est un élément de P(E).

D'une façon générale la théorie des ensembles ne considère qu'un seul type d'objets : les ensembles.

Un exemple simple : E = {x, {x}}, on a bien x appartient à {x} qui sont deux éléments de E.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite341bf20d]

On s'est mal compris , je disais comment un élément (et pas un ensemble) peut -il appartenir à un autre élément . D'après mes cours
on dit un élément appartient à tel ensemble et tel ensemble est inclus dans tel autre ensemble.

Ici x qui est un élément de l'ensemble E et f(x) est élément de P(E) , si on dit que x n'appartient à f(x) c'est que f(x) est un ensemble.

[invite341bf20d]

Bonjour,

Si on pose (Pour une démonstration formelle dans ZF il faut préciser : Y est bien un ensemble grace à l'axiome de compréhension).
Comme et comme est une bijection, donc une surjection, alors il existe un tel que .

Il n'y a que deux cas possibles : soit , soit ; dans le premier cas
...
et dans le deuxième
...

Je te laisse finir (en regardant la définition de ).

Oui c'est vrai on a bien x n'appartient pas à f(x), mais d'après l'alternative dans ta démonstration ( y appartient à f(y) ; y n'appartient à f(y)) on tombe dans les 2 cas sur des paradoxes !! Est ce que 'il y aurait une erreur dans la démonstration.

[invite986312212]

dans une preuve par l'absurde, c'est un peu normal de tomber sur des paradoxes.

[Médiat]

un élément (et pas un ensemble)

Je répète : cette différence entre éléments et ensembles n'existe pas.

[invite341bf20d]

Ah !! j'oubliais qu'il fallait donner une preuve par l'absurde
Merci Media j'ai compris la leçon.