Point critique à l'intérieur d'une orbite périodique
Bonjour,
Si X est un champ de vecteurs (ne dépendant pas du temps) dont une des orbites est périodique, est-il vrai qu'il y a un point critique de X (i.e. un x0 tq X(x0)=0) dans l'intérieur de cet orbite ?
Si oui, quelle est la preuve ? Sinon, avez-vous un contre-exemple svp ?
Salut!
C'est clairement faux, prend un champ de vecteur circulaire de norme 1 sur R² privé de 0.
Oui alors je rajoute des hypothèses : Le champ doit être continu et à valeurs dans R^n
Ca me parait vrai si l'interieur du domaine défini par l'orbite périodique est compact.
En effet lescourbes intégrales du champ dans l'interieur du domaine sont définies en tout temps (théorème de sortie des compacts), mais si tu prends, t_n une suite de temps qui tend vers l'infini, tu peux, quitte à extraire supposer que f(t_n) converge vers un certain x, ou f défini une certaine courbe intégrale. Mainteant si le champ n'est pas nul en x, alors par le théorème de redressement du flot tu peux supposer que le champ est localement constant et vallant X(x) au voisinage de x, mais alors le theoreme de cauchy assure que tu peux prolonger f, ce qui n'est guere faisable vu que t_n tend vers l'infini.
En fait y a un petit souci, dans ce que jai dit, si l'orbite que l'on choisit est elle meme periodique. J'imagine que l'on doit pouvoir choisir une orbite non periodique.
Bon j'ai l'impression qu'on peut s'en sortir quand meme, en regardant l'intersection des interieurs de toutes les orbites periodique "enchassées", alors tu obtiens soit une zone sans orbite periodique, soit un point où le champ s'annule necessairement, j'ai pas ecrit les details mais ca m'a l'air de marcher.
Sinon je pense aussi qu'en prolongeant le champ depuis une orbite peridique sur l'exterieur de l'orbite pour définir un champ sur la sphere, alors on doit pouvoir conclure par le théoreme de la boule chevelu.
(je precise que je me suis placé sur R², sur R^3 ou plus la question n'a pas trop de sens, l'interieur d'une orbite n'ayant pas de sens).
Oui excusez-moi, c'est bien de R² dont on parle.
Je vous avoue que je ne comprends pas très bien votre démonstration...
Dans tous les cas je vois pas de démonstration élémentaire.
Quel est ton niveau (grosso modo) que je detaille la preuve suffisament?
2A à Polytechnique ~ niveau L3 +
Ok, du coup j'imagine que tu dois y suivre le cours de systeme dynamique.
Tu peux déduire le resultat du theoreme de poincaré bendixon, ou alors en utilisant l'indice de la courbe en un point intérieur (qui existe vu que ton orbite périodique est une courbe de jordan). J'ai pas le temps d'ecrire une réponse détaillée maintenant. Mais avec poincaré bendixon, tu dois pouvoir t'en sortir.
Merci, même si je n'ai pas bien compris comment on faisait avec le théorème de PB.
