Bonjour,
Je bute sur un problème de régression.
J'ai trois coordonées, x,y,z et f est une fonction telle que z=f(x,y). Si je connais un ensemble de points z et leur coordonées x et y correspondantes, comment faire pour trouver la fonction z=f(x,y) qui existe?
N'étant pas dans les maths, c'est peut être très basique mais je ne trouve pas la solution.
Merci d'avance.
Ecthelion.
Bonjour.
A priori, il y a une infinité de fonctions possibles. Donc si tu ne sais rien de ta fonction f, tu ne peux rien calculer.
D'autre aprt, les méthodes de régression servent à trouver un modèle approché mais simple,donc ce n'est pas z=f(x,y) que tu trouverais, mais z=f(x,y)+e(x,y) où e est une fonction d'erreur. Plus ou moins grande.
Cordialement.
Merci pour votre réponse.
Je peux calculer plusieurs choses facilement pour en apprendre plus sur f(x).
Pour unconstant,
Pour un
Je peux donc avoir les équations d'un ensemble de droites composant ma surface. Cela rend-t-il plus aisé la solution?
Donc à priori, tu cherches une surface réglée. Avec un peu de chances, ce serait un plan. As-tu essayé ?
Si ce n'est pas un plan, as-tu représenté les points dans l'espace, pour voir comment ils sont placés ?
En tout cas, je reste, vu ce que tu écris, sur l'idée qu'il s'agit de trouver une surface passant exactement par les points, contrairement à ce que dit ton titre ("régression").
Cordialement.
Non, ce n'est malheureusement pas un plan, j'ai fais un "plot" de la surface sur matlab.
En effet, je veux simplement trouver la fonction de cette surface. Je pensais que cela se nommait régression linéaire.
La régression linéaire est la recherche d'une droite (deux variables), d'une surface (trois variables), ... passant "au plus près" des points. dans ton cas, on chercherait un plan passant "au plus près" de l'ensemble des points. Cela revient à poser zi=axi+byi+e et à chercher à diminuer globalement l'erreur e.
Par contre, si on veut un modèle exact, il n'y a pas de méthode si on ne connaît pas la forme de la surface.
Cordialement.
On cherche a optimiser une fonction qui comporte d'une part des variables, d'autre part des paramètres.
Par exemple y=ax+b :
- Les variables sont x et y . On connait des valeurs numériques expérimentales (x,y) pour un certain nombre de points.
- Les paramètres sont a et b. Ce sont eux que l'on veut calculer.
Plus généralement, la fonction à optimiser sera de la forme y= f(a, b ; x) ou une fonction, ou équation, pouvant comporter un plus grand nombre de variables et/ou un plus grand nombre de paramètres.
Le calcul de régression est dit LINEAIRE lorsque la fonction est linéaire RELATIVEMENT AUX PARAMETRES.
Cette propriété de linéarité n'a rien à voir avec les variables, que la fonction soit ou ne soit pas linéaire par rapport aux variables.
Par exemple :
y = a*x+b est linéaire relativement aux paramètres et aux variables : le calcul de régression sera linéaire.
y = a*exp(x)+b est linéaire relativement aux paramètres, et non-linéaire relativement aux variables : le calcul de régression sera linéaire.
y = exp(a*x)+b n'est pas linéaire relativement aux paramètres : le calcul de régression sera non-linéaire.
Une certaine confusion est entretenue par un abus de langage qui fait confondre d'une part le nom de la fonction proprement dite et d'autre part le nom de la régression. Par exemple :
y = a*x²+b : la courbe représentative de la fonction étant une parabole, on parle alors de "régression parabolique". Mais le calcul de régression proprement dit est linéaire. Ainsi lorsqu'on parle du calcul lui-même, on dira que c'est une "régression linéaire", d'où le risque de confusion.
On trouvera plus d'explications dans les pages d'introduction de l'article "Régressions coniques, quadriques, circulaire, sphérique..." par le lien :
http://www.scribd.com/JJacquelin/documents
là si je comprends bien, il s'agit plus d'un problème d'interpolation que de régression.
Je ne vois pas où il a été question d'interpolation.
Bien sûr, pour certains problèmes où l'on cherche à calculer des valeurs intermédiaires, on optimise d'abord une fonction au voisinage de points connus; Puis, gâce à cette fonction, on calcule une valeur intermédiaire, ce qui est un procédé d'interpolation.
Mais il y a de nombreux autres problèmes, où il n'est pas demandé d'interpolation et pour lesquels on est amené à optimiser les paramètres d'une fonction de telle sorte que la courbe ou la surface représentative de cette fonction passe au plus près des points donnés. Ceci par un méthode appropriée de régression. Il me semble que c'est dans ce contexte que la question était posée et non pas dans un but d'interpolation (bien que cela puisse éventuellement servir à cet effet).
Bonjour JJ.
Ecthelion disait :
Et je lui avais répondu dans ce sens dès mon premier message.En effet, je veux simplement trouver la fonction de cette surface.
Donc il ne semble même pas s'agir d'interpolation, mais de découvrir un modèle exact. Mais Ecthelion reste muet sur le contexte et les raisons de faire ainsi.
Cordialement.
Bonsoir, merci pour ces réponses.
Voici la surface obtenue expérimentalement :
http://www.hostingpics.net/viewer.php?id=520628test.png
Je vais essayer de suivre votre lien et de comprendre comment résoudre tout ça. Merci.
La surface représentative de la fonction z=f(x,y) apparait assez régulière, donc devrait pouvoir être approchée par une fonction pas trop compliquée.
Tu pourrais commencer par essayer des formes simples et regarder les déviations que cela donne par rapport aux points connus.
Par exemple : z = A02*y²+A11*x*y+A20*x²+A01*y+A1 0*x+A00
en calculant par régression linéaire les coefficiants A02, A11, A20, A01, A10, A00.
Suivant le résultat, soit essayer une fonction encore plus simple (en supprimant des termes), soit plus compliquée (en ajoutant des termes de degré plus élevé). Il se peut aussi que la modélisation du problème physique suggère d'introduire des fonctions telles que exp, log, etc., à la place des fonctions élémentaires.
On peut aussi essayer une équations au lieu d'une fonction, par exemple une quadrique (p.17, §."Généralisation aux quadriques"). Mais cela fait beaucoup de coefficients et il ne faut pas qu'il y en ait trop : le nombre de coefficients doit rester largement plus petit que le nombre de points connus, ceci d'autant plus que les incertitudes de mesure sur les points expérimentaux sont grandes.
Merci pour ces réponses. Petit précision, l'incertitude sur les points est vraiment négligeable dans ce cas.
Bonsoir Ecthelion.
Tu devrais regarder du côté des surfaces réglées (voir un bouquin de géométrie analytique, ou chercher sur le web), en particulier le paraboloïde hyperbolique (si je ne fais pas erreur), ta surface semble bien proche.
Mais le meux serait quand même de savoir pourquoi tes points sont disposés ainsi. Tu as une origine, il serait peut-être plus simple d'y revenir pour traiter ton problème.
Cordialement.
