Existe-t-il un corps à un seul élément?

[indian58]

Cette question peut sembler sans intérêt mais quand même.
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[GuYem]

Salut bon je dirais que ça dépend de la définition qu'on prends.

Si on impose que le neutre de l'addition et celui de la multiplication soient distincts alors la réponse est non.

Cependant si on prends un ensemble réduit à un élément {a} et qu'on met a+a=a ; a.a = a il ne me semble pas complètement tordu de dire que c'est un corps.

[martini_bird]

Salut,

mouais, c'est l'anneau nul. Grâce à cet anneau on peut démontrer beaucoup de théorèmes... (Qui le croit? )

Cordialement.

[indian58]

Tu es vraiment sûr qu'on a le droit de créer un tel corps?

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

Je crois qu'on a le droit oui.
T'en fais pas il n'y aura pas de vil dictateur qui te tombera dessus si tu le fais !

Mais je crois aussi que ça ne sert à rien

[indian58]

Oui, je sais que ça sert parfaitement à rien; je l'avais précisé. Mais bon, on est pointilleux ou on ne l'est pas!!

[GuYem]

Tu peux le faire en étant pointilleux, comme je l'ai fait au message #2.

[invite21126052]

dans notre cours et dans un de mes livres, il y marqué qu'un corps est (entre autre) un anneau non nul...

donc, la réponse serait non? mais rien ne t'empêche de créer une nouvelle structure algébrique, du moins je ne pense pas

[invitea48bae98]

moi dans mon cours j'ai ceci comme def
K un ensemble, + et * 2 lois internes sur K
(K,+,*) est un corps ssi
-(K,+,*) est un anneau commutatif
-K*(étoile pas le signe multiplié^^)=K\{Ok}
-K différent de {Ok}

donc par cette definition pas réduit a 1 seul élément, mais peut-être d'autres def?

[invite9b7da66e]

D'après mes souvenirs, ce problème ne se pose pas si l'on précise dans la définition que dans un corps, 1!=0. De toutes façons comme le dit martini_bird {0} n'a pas la moindre utilité ...

[indian58]

Je sais bien que ça n'a aucune utilité mais c'est juste par curiosité

[matthias]

Il n'y a rien de plus fluctuant que les définitions des structures algébriques. Ca dépend des époques, des pays, des profs ...
Pour certains les anneaux sont toujours unitaires, pour d'autres non, pour certains les corps sont toujours commutatifs, pour d'autres non, et ce n'est pas mieux quand on parle de magma, monoïde, semi-groupe ...