nilpotence

[Minialoe67]

Bonsoir

Soit A un anneau. On dit que x élément de A est nilpotent s'il existe n appartenant à N, xⁿ=0

Montrer que si a et b sont nilpotents et si ab=ba, alors a+b est nilpotent.

Corrigé:
Il existe n appartenant à N tel que aⁿ=0
Il existe p appartenant à N tel que b^p=0

(a+b)^m=∑_k=0^m C_m^ka^kb^m-k (binôme de Newton)
On pose m=n+p
Si k appartient à [n,n+1,n+2...,n+p], a^k=0
Si k appartient à [0,1,2,3...,n-1], b^n+p-k=b^p+(n-k)=0
=> Quelque soit k appartenant à [0,1,2...,n+p] C_n+p^ka^kb^n+p-k=0
donc (a+b)^n+p = 0
a+b est nilpotent

Je ne comprend pas à partir de ce qui est en rose. Pouvez vous m'expliquer ce qu'on fait dans le corrigé? notamment m'expliquer à quoi correspond les intervalles.
Merci
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[gg0]

Bonsoir.

Si aⁿ =0, alors pour tout exposant n' supérieur à n, a^n'=0.

Cordialement.

[Minialoe67]

Ok pour le aⁿ=0 mais pour le bⁿ je vois pas trop...

[gg0]

C'est pourtant la même idée !!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite332de63a]

Bonjour,

en fait ta somme on la coupe en deux morceaux, le premier, on est sûr que les sont nuls car et sur la deuxième on est sûr que les sont nuls car . Chacun des morceaux est donc nul, donc ta somme est nulle.

RoBeRTo.

[Minialoe67]

ok ok je pense avoir compris. Merci