Courbe tracée sur une sphère

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aurais besoin d'une petite indication pour le problème suivant :

On se donne une courbe dont on note la courbure et la torsion. On suppose que la torsion et la courbure ne s'annulent en aucun point.

Montrer que si pour tout , appartient à une sphère de rayon , alors .

Auriez-vous juste une indication à me donner ?

Merci d'avance,
Seirios
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[0577]

Bonjour,

une maniere de faire : partir de ce qu'on sait, a savoir
norme de au carre egale a une constante.
On derive puis on derive puis on derive (total : 3 derivations). A chaque etape, on regarde ce
qu'on apprend et on utilise les definitions.

Une remarque supplementaire : la formule qu'on cherche a obtenir ressemble beaucoup
au theoreme de Pythagore, ce n'est pas un hasard ...

[Seirios]

Je ne pensais pas que la dérivation était une bonne méthode, à cause de la disparition du , mais cela fonctionne effectivement très bien :

Quitte à translater la courbe (ce qui ne modifie pas la courbure ou la torsion), on suppose que la sphère est centrée en l'origine. Alors pour tout (on paramétrise par longueur d'arcs). Dans la suite, on note le trièdre de Frénet en . En dérivant une fois, on obtient (1) ; en dérivant deux fois, (2) ; en dérivant trois fois, (3).

L'équation (1) nous dit que appartient au plan engendré par et , donc . Or l'équation donne (2) donne , et combinée avec l'équation (3), on obtient que . Au final, on trouve bien l'équation recherchée.


Pendant que j'y suis, je me pose des questions sur la réciproque : si la courbure et la torsion vérifient l'équation en question, la courbe est-elle tracée sur une sphère ? Il semblerait que ce soit vrai lorsque ne s'annule pas, mais la liberté qu'il y a sur le centre de la sphère (dont on s'était affranchi précédemment par une translation) me semble problématique...