Valeurs et espaces propres, et système 3 équations à 3 inconnues

[invite4b835d95]

Bonjour,

Je dois calculer les valeurs propres d'une matrice A, et donner une base des espaces propres associés.
La matrice est la suivante :
A = 3 -1 1
-1 3 1
2 2 2

J'ai trouvé les valeurs propres 0 et 4.
Afin de trouver les vecteurs propres, je dois bien résoudre les deux systèmes suivants :

3x - y + z = 0
-x + 3y + z = 0
2x + 2y + 2z = 0

et :

3x - y + z = 4
-x + 3y + z = 4
2x + 2y + 2z = 4

Si c'est bien le cas, pour le premier système, quelqu'un pourrait-il me donner les valeurs qu'ils trouvent car les miennes me semblent bizarres. Je trouve en effet x = y =z = 0. Me suis-je trompée ? (Je n'ai pas fini pour le deuxième polynôme, mais je veux bien les réponses pour vérifier si je ne me suis pas trompée dans le calcul non plus, merci)
De plus, vu que ma matrice est dans R³, je dois donc avoir 3 vecteurs pour la base non ? Est-ce que 4 serait alors une racine double (c'est la racine unique que j'ai trouvée pour résoudre le polynôme -x² + 8x - 16) ? Dans ce cas comment cela se passe-t-il ?

Dernière question, ayant prêté mes cours de maths à quelqu'un, je ne sais dans quel sens mettre mes vecteurs (une fois trouvés) pour la base. (C'est-à-dire, pour mon premier vecteur, je dois mettre ses coordonnées en ligne ou en colonne ? Je me trompe tout le temps ^^")

Merci d'avance pour les réponses.
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[gg0]

Bonjour.

Les valeurs propres sont bien 0 et 4.
Pour les vecteurs propres de la valeur propre 0, le fait que le vecteur nul (0,0,0) soit une solution ne devrait pas te surprendre si tu reviens à la définition. Mais justement, tu cherches les solutions non nulles de l'équation

où A est la matrice, X le vecteur propre cherché et la valeur propre.
Le fait que 0 soit valeur propre signifie que ton système a une équation qui est conséquence des deux autres. Ici, la somme des deux premières donne la troisième. Tu peux donc te contenter des deux premières. Ensuite, comme si V est un vecteur propre, k.V est est aussi un si k est non nul, tu peux choisir la valeur d'une des composantes, z par exemple. Pour éviter de retomber sur (0,0,0), tu peux prendre par exemple z=1. Tu obtiens un système de 2 équations à 2 inconnues que tu résous. Il y a une seule solution.

Pour la VP 4, on fait de même, après avoir posé le bon système, ce que tu n'as pas fait (erreur dans le second membre). Cette fois-ci, tu tomberas sur un système qui revient à une seule équation. Ce qui est dû au fait que le sous-espace propre correspondant est de dimension 2. Il te faut chercher alors 2 vecteurs propres non colinéaires (ce que tu peux faire en choisissant les valeurs pour y et z).

Bon travail !