Intégrale "oscillante"

[invite705d0470]

Bonsoir,
je cherche à montrer l'existence, puis à trouver un équivalent à l'infini de l'intégrale .
Je suis persuadé qu'elle est semi-convergente à n fixé, et qu'elle tend vers 0.
Déjà, le montrer pour est il suffisant ?
Ensuite, je raisonne en écrivant , mais celà ne marche pas très bien pour moi ...
J'ai essayé une ipp pour écrire , mais après ... ?

Peut être qu'il y a la convergence dominée pas très loin (pour l'existence et/ou l'équivalent, mais trouver l'équivalent devrait assurer l'existence, non ?)

Peut on espérer, par exemple, que ?

Merci si vous être prêts à m'aiguiller,

Bonne nuit
-----

[Tiky]

Bonsoir,

Il faut supposer que n > 1 sinon elle est divergente !

Ton équivalent est bon. En faisant le changement de variable , tu obtiens :


Montre que l'intégrale est semi-convergente. En fait montre de manière général que l'intégrale est semi-convergente dès que .

Montre ensuite que que . La convergence dominée n'est pas utilisable car tu n'arriveras pas à majorer par une fonction intégrable.

[invite705d0470]

Merci Tiky !
Pour justifier que l'intégrale est semi convergente, j'ai écrit
- , (toutes les fonctions se prolongent par continuité en 0), d'où l'existence de la limite en passant (légitimement) à la limite dans l'égalité (la seconde fonction est intégrable) lorsque .
- Lorsque alpha est supérieur strictement à 1, le seul problème possible peut venir de 0 (car à l'infini, c'est un qui est intégrable). Dans l'intervalle (1,2) des alpha, la fonction est carément intégrable !
- Par contre dès que l'on sort de cette zone, en 0 empêche l'intégrabilité. Mais comment contrôler ce qui s'y passe ?


Pour montrer la convergence, c'est plutôt un retour à la définiton, ou une minoration judicieuse ? (du style via Cauchy-Schwarz, ici avec des notations abusives car le second terme n'existe pas !! )
J'aurais bien aimé que converge uniformément vers 1 sur R, mais c'est idiot

Merci d'avance, Snowey

[Tiky]

C'est beaucoup plus simple que ça. Tu as tout dit avec ton ipp. En effet en faisant tendre vers l'infini,
tu en déduis que pour , on a :


Donc :


On majore tout ça de manière très grossière. Il faut faire attention en majorant le cosinus que l'intégrale est encore un sens en 0 (découpe en deux).

[A voir en vidéo sur Futura]