problème sur les complexes

[invitec154b59a]

Bonjour, je fais un exercice de maths mais je n'ai réussi à faire que la 1ère question ... Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Voici l'énoncé :
Pour tout z ∈ C \ {−1}, on a g(z)=(z-1)/(z+1)
a ∈ R∗+. On note Fa l'ensemble des points d'affixe z ∈ C \ {−1} vérifiant |g(z)|=a.
1) Déterminer F1.
2) On suppose que a différent de 1. Donner une expression des affixes des points de Fa.
3) Démontrer que Fa contient deux points de l'axe réel x et déterminer les affixes de ces 2 points.
4) Démontrer que Fa est inclus dans un cercle C de centre d'affixe ω = (z1 + z2 )/2 et
de rayon à déterminer.
5) Est-ce que Fa =C?

Pour la 1) j'ai trouvé que c'était la médiatrice du segment AB où A(-1) et B(1) mais après je n'y arrive pas, je ne sais pas comment faire ...

Merci d'avance
-----

[inviteea028771]

En écrivant que |z-1| = a|z+1| et en posant z=x+iy, on obtient une équation cartésienne simple (en passant au carré)

[invitec154b59a]

On a : |z-1|=a|z+1|
<=> |z-1|²=a²|z+1|²
<=> |x+iy-1|²=a²|x+iy+1|²
<=> x²-2x+1+y²=a²(x²+2x+1+y²)

Mais après je ne sais pas quoi faire ...

[gg0]

Bonsoir.

"Mais après je ne sais pas quoi faire ... "
Et surtout, tu n'as rien essayé, car par des calculs classiques de collège, on peut faire diverses choses. mais si on attend que quelqu'un fasse le travail à sa place, on agit peu sérieusement. Tant pis !!!

NB : Lire la suite de l'énoncé peut donner quelques idées ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec154b59a]

Bonjour,
En fait après j'avais trouvé des choses mais je n'étais pas revenue sur le forum depuis hier
J'ai trouvé : (a²-1)x² + 2(1+a²)x + (a²-1)y² + (a²-1) = 0 avec (x;y) différent (-1;0)

Et aussi :
|g(z)|=a
<=> |(z-1)/(z+1)|=a
<=>(z-1)/(z+1)=a*e^it
<=>z-1=(a*e^it)(z+1)
<=>z-a*e^it*z=a*e^it+1
<=>z=(a*e^it+1)/(1-a*e^it)

pour la 2ème question mais je ne sais pas si c'est bon,

Et après pour la 3ème,
Im(z)=0. J'ai trouvé : Im(z)=0 <=> 2asin(t)=0 <=> a=0 ou sin(t)=0 <=> z=0 ou t=0(pi) <=>z=0 ou z=(a-1)/(a+1) ou z=-(a+1)/(a-1) (car a différent de 1)

Mais je crois que c'est faux ...

[invitec154b59a]

Sinon avec l'équation cartésienne que j'ai trouvé, j'ai essayé de la mettre sous la forme (z-zc)^2+(y-yc)^2=R^2 mais je n'y arrive pas (j'ai essayé ça comme après dans le 4) on nous parle d'un cercle)

[invitec154b59a]

En fait je me suis trompée : (x-xc)^2+(y-yc)^2=R^2

[gg0]

Bonsoir.

(a²-1)x² + 2(1+a²)x + (a²-1)y² + (a²-1) = 0
Ce ne serait pas une équation de cercle ? Que se passe-t-il si tu divise par a²-1 ? Possible puisque a est différent de 1.

Cordialement.

[invitec154b59a]

On trouve :
(a²-1)x² + 2(1+a²)x + (a²-1)y² + (a²-1) = 0
<=> x²+2x(a+1)/(a-1)+y²+1=0

[invitec154b59a]

Non en fait c'est : x²+2x(a²+1)/(a²-1)+y²+1=0

[invitec154b59a]

Et je trouve :
(x+(a²+1)/(a²-1))²+(y+1/2)²=((a²+1)/(a²-1))²-3/4=((a²+1)/(a²-1)+racine(3)/2)((a²+1)/(a²-1)-racine(3)/2)

C'est l'équation du cercle de centre C(-(a²+1)/(a²-1);-1/2) et de rayon racine(((a²+1)/(a²-1)+racine(3)/2)((a²+1)/(a²-1)-racine(3)/2))

Ca sert pour la 2) ?

Merci d'avance

[gg0]

Tu n'étais pas en train de faire la 4 ?

Car pour la 2, il faudrait lire l'énoncé, et faire ce qui est demandé (c'est quoi "l'affixe" ?).

Là, si je comprends bien tu t'es lancée dans des calculs sans savoir pourquoi tu les faisais !!! Il est vrai que la question est peu claire, et à part réécrire |g(z)|=a en remplaçant g(z), je ne vois pas trop ce que veut dire le rédacteur de cet énoncé !! mais tu peux facilement attaquer la question 3.

Dans la question 4, il y a des z1 et z2 non définis !!

Cordialement.

[invitec154b59a]

Bonjour
En fait z1 et z2 correspondent aux affixes des points trouvés dans la question 3),
Pour la 3), j'ai fais ça mais je sais pas si c'est bon :
Im(z)=0. J'ai trouvé : Im(z)=0 <=> 2asin(t)=0 <=> a=0 ou sin(t)=0 <=> z=0 ou t=0(pi) <=>z=0 ou z=(a-1)/(a+1) ou z=-(a+1)/(a-1)

[invitec154b59a]

En fait j'ai trouvé : z1=(1+a)/(1-a) et z2=(1-a)/(1+a), je vais faire la 4 alors

[gg0]

Tu es sure que tu fais vraiment le problème dont tu as donné l'énoncé au départ ? Moi je ne comprends rien à ce que tu écris : 2asin(t)=0 <=> a=0 ou sin(t)=0 ???

Reprenons sérieusement : A partir de la question 2, a est différent de 1. Et tu as L'ensemble F_a des points d'affixe z ∈ C \ {−1} vérifiant |g(z)|=a. On te demande de montrer que F_a contient deux points de l'axe réel. Comment fais-tu cette preuve (*)?

Cordialement.

(*) je ne te demande pas d'écrire un calcul mais d'expliquer et de justifier en utilisant les règles des maths.

[invitec154b59a]

Pour montrer que Fa contient deux points de l'axe réel, j'écris :
|z-1|²=a²|z+1|² car |g(z)|=a
<=> |x+iy-1|²=a²|x+iy+1|²
<=> x²-2x+1+y²=a²(x²+2x+1+y²)
On obtient une équation cartésienne qu'on met sous la forme : (a²-1)x² + 2(1+a²)x + (a²-1)y² + (a²-1) = 0

Si un point appartient à l'axe réel alors y=0 (avec x différent de 1), donc x vérifie l'équation : (a²-1)x² + 2(1+a²)x + (a²-1) = 0
on a alors en résolvant l'équation d'inconnue deux valeurs de x et donc les points z1 et z2.
J'ai trouvé : (1+a)/(1-a) et (1-a)/(1+a)

Mais je ne sais pas si c'est bon ...

[gg0]

Il y a bien plus simple : z est réel !!
Donc g(z) aussi et sa valeur absolue est a. Donc soit g(z)=a, soit g(z) = -a. et quand on a résolu la première équation, on obtient immédiatement la solution de la deuxième en remplaçant a par -a.

inutile de faire des calculs compliqués !

[invitec154b59a]

D'accord merci
Pour la question 4) est-ce qu'on doit calculer :
((a-1)/(a+1)+(a+1)/(a-1))/2 et montrer que : (x-((a-1)/(a+1)+(a+1)/(a-1))/2)²+y²=R² ?

[gg0]

En fait,

tu as déjà fait cette question 4, il te suffit de reprendre et finir tes calculs (message #5, début ou #10 et le #11est faux). Tu verras alors que les deux points de la question 3 (*) sont diamétralement opposés.

Cordialement.

(*) que tu n'as pas finie ! Tu as seulement montré que si on suppose que M(z) est sur F_a avec z réel, alors z est une de ces deux valeurs; il reste à prouver que ces points sont bien sur F_a.

[invitec154b59a]

D'accord je continue alors

[invitec154b59a]

En fait j'ai mis : x²+2x(a²+1)/(a²-1)+y²+1=0 sous la forme (x-(a²+1)/(a²-1))²+(y-0)²=(2a/(a²+1))²
Or (z1+z2)/2=(a²+1)/(a²-1) donc Fa est inclus dans le cercle de centre w et de rayon 2a/(a²+1), c'est bien ça ?

[invitec154b59a]

Pour la question 5), est-ce que je dois montrer que C est inclus dans Fa ? Je ne sais pas comment faire ...

[gg0]

Pour la question 4, tu as montré que les points de F_a vérifient l'équation du cercle, il suffit de le dire (un calcul ne conclut rien, c'est sa signification qui importe).
Pour la question 5, il te faut savoir effectivement si tous les points du cercle sont sur F_a. Arrivée là, tu peux essayer de faire seule, non ?

Cordialement.

[invitec154b59a]

D'accord
Pour la 5) j'ai montré d'abord que le point de coordonnées (-1;0) n'est pas dans C mais après je dois vérifier que les points d'affixes z dans C vérifient |g(z)| = a, mais quel expression dois je prendre pour z ? est ce que je peux prendre celles trouvée avant : (ae^it+1)/(1-ae^it) ?

[gg0]

Bonsoir.

"j'ai montré d'abord que le point de coordonnées (-1;0) n'est pas dans C" ???? Quel rapport avec la question ???

"je dois vérifier que les points d'affixes z dans C vérifient |g(z)| = a", donc prends pour z l'affixe d'un point quelconque de C. Comme tu connais son centre et son rayon, il est facile de traduire sur z le fait que le point est sur le cercle.

"est ce que je peux prendre celles trouvée avant : (ae^it+1)/(1-ae^it) ? " ??? C'était pour un point de F_a. tu veux vérifier que les points de F_a sont sur F_a ????

Tu donnes l'impression de prendre des bouts de calculs au petit bonheur la chance, sans t'occuper de ce qu'ils disent, de à quel propose on a obtenu cette expression ! Traite le problème qui se pose, sans essayer de refaire ou reprendre. Et si le problème te donne un calcul déjà fait, alors utilise le calcul déjà fait parce que c'est celui qu'il faut faire.

Cordialement.

[invitec154b59a]

Merci beaucoup !
On prend un point M d'affixe z appartenant à C, donc module(z-w)=R=2a/(a²-1), pour trouver z on passe au carré,
et alors z-w=4a²/(a²-1)², c'est bien ça ?

[gg0]

Pas tout à fait !

C'est quoi, le carré du module ?

Mais c'est peut-être plus simple pour calculer ensuite g(z) d'écrire

où t varie de 0 à 2 pi.

Cordialement.

NB : J'ai fini par comprendre pourquoi tu montrais "que le point de coordonnées (-1;0) n'est pas dans C". Effectivement, ça aurait pu poser problème.

[invitec154b59a]

Merci beaucoup