Lien(s) entre valeurs(s)/vecteur(s) propres et singuliers

[invite92876ef2]

Bonjour à tous,

Je voudrais me renseigner un maximum sur les liens entre, pour une matrice quelconque ou pas (avec ou sans hypothèse(s)), les valeurs propres et les valeurs singulières, d'une part, et les vecteurs propres et les vecteurs singuliers, d'autre part (je suppose leur existence !...).

La littérature des bibliothèque de Jussieu et de l'ENS (Ulm) ne traite pas le sujet tel que je le souhaite.

Pourriez-vous m'orienter ?

Je vous remercie bien de votre gentillesse.

Très sincèrement,

[invite92876ef2]

J'ai d'ailleurs pu lire une sotise sur le net :

"Dans le cas d'une matrice M hermitienne semi-définie positive, c'est-à-dire dont toutes les valeurs propres sont des réels positifs, alors les valeurs singulières et vecteurs singuliers correspondent aux valeurs propres et vecteurs propres de M"

C'est vrai pour les valeurs propres et singulières. Remarquons que si M est hermitienne seulement, alors les valeurs singulières de M sont égales aux valeurs absolue des valeurs propres de M.
Par contre, le contraire m'aurait surpris, il n'y a aucun lien entre vecteurs propres et vecteurs singuliers de M, même si cette dernière est hermitienne semi-définie positive ou définie positive.

Une simple simulation sur un exemple montre qu'il n'y a pas d'égalité, et j'ai l'impression que la relation entre ces vecteurs n'est pas connue.

[invite179e6258]

ça me semble assez bien expliqué ici : http://en.wikipedia.org/wiki/Singula..._decomposition

sinon, ce que j'en sais je l'ai appris dans le bouquin de Mardia, Kent & Bibby "Multivariate Analysis". S'il y a un rayon de stats dans ta BU il pourrait s'y trouver.

[invite92876ef2]

Ouah une réponse !

Merci bien de votre orientation. Le site en question ne répond pas à mes espérances (mathématiques). Je vais finir par développer les liens moi-même !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite179e6258]

j'avoue que je n'ai jamais creusé trop la question des vecteurs singuliers. Il y en a à gauche et à droite puisqu'on n'a pas nécessairement une matrice carrée.

en stats on se sert de la svd pour calculer des pseudoinverses. Si tu as quelques notions de régression linéaire, tu sais qu'on calcule des sommes de carrés d'écarts, et qu'on utilise un test basé sur le rapport des sommes de carrés d'écarts. Quand on passe en multivarié (i.e. qu'on étudie plusieurs variables simultanément) les sommes de carrés deviennent des traces de matrices et on est amené à calculer des traces de quotients de matrices. Bref on a besoin d'inverser des matrices, or elles sont souvent singulières et on en prend des pseudoinverses. En général pour calculer la trace on n'a besoin que des valeurs singulières. Le Mardia parle de ça mais du coup je ne suis pas sûr qu'il détaille la question des vecteurs singuliers...

[invite92876ef2]

Bonsoir.

Oui je connais bien les outils utilisés notamment pour les modélisations dans les marchés financiers.

La question des liens entre valeurs/vecteurs propres et singuliers n'est pas abordée dans les livres cités.

[invite92876ef2]

Je peux remarquer en tout cas qu'il y a un nombre monumental de sottises dans les livres concernant les liens entre valeurs singulières et valeurs propres... notamment ce fameux "valeur singulière =|valeur propre|"...

[invite92876ef2]

Je précise aux lecteurs que cette relation est vraie si la matrice est hermitienne/symétrique.