suite convergente non bornée?

[invite2f2cc8f5]

existe t-il une suite qui soit convergente mais non bornée??
existe t-il un espace où une suite convergente n'est pas nécessairement bornée?
exemple SVP??
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[invite4343a4f5]

Pour le moment je peux juste te dire qu'une suite bornée peu être divergente ( ex : (-1)^n )

[invite2f2cc8f5]

XD oui ça je le savais déjà, je sais même que dans les réel il n'y a pas de suite qui soit convergente non borné vu qu'elle converge vers un nombre l... dans l'espace métrique aussi d’ailleurs car d(Xn,X) tend vers 0... mais est-ce qu'il y a un autre espace ou la proposition 1 est vrais??

[inviteea028771]

mais est-ce qu'il y a un autre espace ou la proposition 1 est vrais??

C'est quoi une suite bornée dans un espace ou il n'y a pas de notion de distance (non métrique)?

Comme souvent en maths, il faut définir précisément de quoi on parle avant de pouvoir en parler

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2f2cc8f5]

oui, on sait très bien que dans l'espace métrique la notion de convergence implique la bornitude.
Mais en lisant cette proposition, je me pose la question existe-il un espace où la convergence n'implique pas la bornitude d'une suite????? et comme vous je me suis posé la même question "non bornée dans un espace non métrique??? est-ce possible???quel espace alors??"

[gg0]

Bonsoir.

Tu te poses effectivement une bonne question, mais tu te la poses de travers : Pour pouvoir parler de "non borné", il faut savoir ce que veut dire "borné". Il y a des réponses simples dans les espaces métriques, car on retrouve la notion de distance et on pense à borné comme voulant dire "il y a une distance maximale". Si A est borné dans l'espace métrique et x est un élément de cet espace, alors les nombres d(x,y) pour y dans A ne dépassent pas une certaine valeur, une borne
Maintenant comment envisages-tu la notion de borné dans un espace topologique non métrique ? Si tu réponds à cette question, on peut essayer d'aller plus loi avec toi. Si tu n'es pas capable de répondre, tu as ta réponse : Avec ta notion de borné, on ne sort pas des espaces métriques, donc toute suite convergente est bornée.

Cordialement.

NB : Tu peux t'amuser à aller voir "bornologies" sur internet.

[invite2f2cc8f5]

Merci beaucoup ça a "partiellement" répondu à ma question, j'ai fait de la topologie pendant un semestre mais je me suis pas très approfondi dans ma formation dans les espaces vectoriels topologiques, donc je savait pas beaucoup de truc je crois XD merci pour votre aide