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Element maximal et plus grand élément..



  1. #1
    Bloupies

    Element maximal et plus grand élément..


    ------

    Bonsoir

    J'ai du mal à réussir à différencier les deux , et surtout quand savoir qui sont-ils...

    J'ai la définition ici : Un élément a de P est un élément maximal si a majore dans A tout ceux qui lui sont comparables
    Le plus grand élément de P est l'élément a de P tel que a[smb]appartient[/smb]P,, pour tout x appartenant à P , x[smb]infegal[/smb] a

    Les éléments maximal et minimal sont valables seulement lorsque l'ordre n'est pas totalement ordonée ? Donc quand il est partiel ?

    Des exemples corrigés :

    1) E = {1,2,3,5,6,10,15,30} , Relation = divise ( ce sont des diviseurs de 30)

    Si P=(2,3,5,10) , on a comme élément maximal 10 et 3 éléments minimaux (2,3,5)
    On a pas de plus grand élément ni de plus petit élément

    Si P={2,5,10) , on a 10 comme élément maximal et (2,5) comme élément minimal
    On a 10 comme plus grand élément et aucun plus petit élément

    Si j'analyse un peu , je vois que le plus grand élément est là si seuelement le plus grand est comparable avec tous , par exemple dans P={2,5,10) , on a 10 comme plus grand élément car 2 et 5 divise 10 , par contre dans P=(2,3,5,10) , il ne l'est pas car il n'est pas comparable a 3
    De même pour 2 , j'en déduis qu'il n'est pas le plus petit car il ne peut pas diviser 3 ..

    Donc est ce que quelqu'un pourrait m'aider une bonne fois pour toute car cela fait plusieurs jours que je confonds , et je m'embrouille de plus en plus : Quand dire plus grand élément , element maximal , quand peut il en avoir plusieurs ..

    J'accepterais avec joie vôtre aide qui me ferait comprendre cela ..

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Seirios

    Re : Element maximal et plus grand élément..

    Bonsoir,

    Pourtant, il me semble que tu as bien compris : Le plus grand élément est un élément maximal, mais la réciproque peut être fausse lorsque l'ordre est partiel (lorsque l'ordre est total, les deux définitions sont équivalentes) ; par exemple, si j'ordonne {2,4,8,7} avec la division, 8 et 7 sont des éléments maximaux mais il n'y a pas de plus grand élément. Par contre, s'il y a un plus grand élément, alors il n'existe qu'un seul élément maximal qui est précisément cet élément maximal.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #3
    Bloupies

    Re : Element maximal et plus grand élément..

    Donc par exemple , dans {2,4,8,7} , 8 et 7 sont les éléments maximaux mais aucun plus grand élément car par exemple 8 ne peut pas être divise par 7 ou vise versa ?
    Dans {2,4,8,16} , 16 est le plus grand élément et donc le seul élément maximal ?

    Concernant les éléments minimaux , dans {2,4,8,7} , ça serait 2 et il n'y a pas de plus petit élément ( car 2 ne divise pas 7)
    et dans {2,4,8,16} , le plus petit élément est 2 et et le seul élément minimal ?

    Je m'embrouille ou bien ?

  5. #4
    Seirios

    Re : Element maximal et plus grand élément..

    C'est tout à fait correct
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Bloupies

    Re : Element maximal et plus grand élément..

    Je me suis re-perdu..Je n'y arrive vraiment pas sans définition certifié pouvant s'appliquer à tous les cas..

  8. #6
    Bloupies

    Re : Element maximal et plus grand élément..

    Apparemment , dans 2,4,87 , 2 et 7 sont des éléments minimaux ..

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  10. #7
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Element maximal et plus grand élément..

    Je n'y arrive vraiment pas sans définition certifié pouvant s'appliquer à tous les cas..
    Tu les as les définitions certifiées, tu les as citées dans ton premier message. A toi de t'en servir ...

  11. #8
    Bloupies

    Re : Element maximal et plus grand élément..

    Merci pour les définitions

    Donc je reprends :

    En faite un élément maximal , ça serait un élément qui lorsqu'il divise quelque chose , cela soi lui même c'est ça ? je veux dire que s'il divise autre chose que lui même , c'en est pas 1 .

    Donc pour P=(2,3,5,10) , 3 et 10 sont des éléments maximaux
    Pour P=(2,4,8,16)=16 le serait ?
    Pour P=(2,4,8,7)=ce serait 8 et 7 ?

    Pour trouver un plus grand élément , il faut que tout élément puisse le diviser
    donc dans P=(2,3,5,10) , il y'en a pas
    P=(2,4,8,16) , c'est 16
    dans P=(2,4,8,7) il n'y en a pas ?

    Est-ce juste ?
    Dans ce cas , quel serait les définitions de plus petit élément et élément minimal ?

  12. #9
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Element maximal et plus grand élément..

    C'est juste.

    pour plus petit élément et élément minimal , tu inverse le sens de l'inégalité (mais n'est-ce pas évident ?)

  13. #10
    Seirios

    Re : Element maximal et plus grand élément..

    Citation Envoyé par Bloupies Voir le message
    Apparemment , dans 2,4,87 , 2 et 7 sont des éléments minimaux ..
    Effectivement, j'aurais dû être plus attentif à ce que tu avais écrit. 7 n'est en effet comparable à aucun autre élément de l'ensemble, donc c'est à la fois un élément minimal et un élément maximal.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  14. #11
    Bloupies

    Re : Element maximal et plus grand élément..

    Merci de vôtre aide à vous deux

    Donc j'ai plus ou moins refait tout juste avec les définitions , voilà ce que ça donne :

    Relation : a divise b

    a) P={2,3,5,10}(ordre partiel)

    -Elements maximaux : 3 et 10
    -Elements minimaux : 2 et 3 et 5
    -Plus grand élément : aucun
    -Plus petit élément : aucun

    b) Dans P={2,4,8,7}(ordre partiel)

    -Element maximaux : 8 et 7
    -Elements minimaux : 2 et 7
    -Plus petit élément :aucun
    -Plus grand élément :aucun

    c) Dans P={2,4,8,16}(ordre total)

    -Elements maximaux : 16(plus grand élément)
    -Element minimaux :2(plus petit élément)
    -Plus grand élément : 16
    -Plus petit élément :2

    d) Dans P={2,4,6,8}(ordre partiel)

    -Element maximaux : 6 et 8
    -Elements minimaux :2(plus petit élément)
    -Plus petit element = 2
    -Plus grand element = aucun


    Par ailleur , si on aurait E = {1,2,3,5,6,10,15,30}, ensemble des diviseurs entiers de 30, et que l'on voudrait savoir les majorants/minorants , tu penses quoi de ça :

    a)
    Majorant : 30
    Minorant : 1

    Et pour le reste pas faisable non ? Car il y a des éléments qui ne divisent pas E , qui ne lui sont pas comparable ?
    Est-ce bien pour cette raison ?

  15. #12
    Seirios

    Re : Element maximal et plus grand élément..

    Par ailleur , si on aurait E = {1,2,3,5,6,10,15,30}, ensemble des diviseurs entiers de 30, et que l'on voudrait savoir les majorants/minorants , tu penses quoi de ça :

    a)
    Majorant : 30
    Minorant : 1
    Si tu considères E isolé, alors les notions de majorants et de minorants coïncident avec les notions de plus grand et de plus petit éléments (qui sont donc 30 et 1) ; si tu considères E inclus dans l'ensemble des entiers naturels non nuls, alors les majorants de E sont les multiples de 30 et il n'y a qu'un seul minorant, 1.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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