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Plus petit/grand élément d'une fonction à deux variables



  1. #1
    prépaz

    Plus petit/grand élément d'une fonction à deux variables


    ------

    Je pose la meme question mais avec tout un enoncé avant dans un autre post, cependant j'aimerais comprendre le cas général:
    Si je pose:
    Pour tout y€A soit la fonction: A --> Complexes
    x |--> f(x+iy)
    où A est un intervalle de R (reelles)
    Si je veux prouver l'existence de min|f| ou meme le determiner, comment dois-je m'y prendre? Mon probleme se pose surtout au niveau des roles que jouent x et y.
    Je voulais poser cette question au sens plus general avec une fonction de la forme: Pour tout y€A f(x)=g(x,y) mais j'ai peur de mal la formuler ..

    -----

  2. #2
    indian58

    Re : Plus petit/grand élément d'une fonction à deux variables

    Tu veux faire quoi exactement? Déterminer min|f| à y fixé ou pas? Dans le premier cas, tu fixes y et donc tu cherches le minimum de la fonction g(x)=|f(x+iy)|. C'est une simple fonction à une variable (x) à valeurs dans R. Donc étude classique. (Remarque, tu as fixé y. Il ne vas pas varier pendant ton étude mais le résultat va probablement en dépendre.)
    Dans le second cas, tu cherches en fait le minimum de g(x,y)=|f(x+iy)| avec (x,y) dans R².

    Par exemple, f(z)=z², z complexe.
    Dans le premier cas, soit y réel fixé. Alors cherchons min |z²|=min |x+iy|²=min (x²+y²). Bon bah faut donc chercher le min de x->h(x)=x²+y² qui est donc atteint en 0 et vaut y². Ainsi à y fixé, min|f|=y².
    Dans le deuxième cas, tu veux min |f(x+iy)|=min (x²+y²) avec x,y dans R. Ben, tu vois que h(x,y)=x²+y²>=0 pour tout x,y et pour x,y=0, h(0,0)=0. Donc, le minimum de |f| pour x,y dans R est atteint en (0,0) et vaut 0.

  3. #3
    prépaz

    Re : Plus petit/grand élément d'une fonction à deux variables

    la question exacte est: "Démontrer que min|f| existe?"
    Ca présuppose qu'il faut faire ce que tu as dit en premier?
    Je ne pense pas que ca soit la 2eme solution parce que dans ce cas la fonction serait f(x,y) et non f(x).
    Autre question: chercher min|f| pr tout y, c'est pareil que chercher min|f(x)| pr tout y ?

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