Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 12 sur 12

Image d'un fermé par un polynôme



  1. #1
    Seirios

    Image d'un fermé par un polynôme


    ------

    Bonjour à tous,

    Je cherche à montrer que l'image de tout fermé de par un polynôme de est fermé ; je pense avoir trouver la solution, mais comme je ne veux pas regarder la solution de mon corrigé sans savoir si ce que j'ai fais est correct ou non, j'aimerais avoir confirmation (ou non) de mon raisonnement (mais s'il est faux, ne me mettez pas sur la piste, je chercherai à faire autrement) :

    Soient F un fermé de , (de degré n) et convergeant dans .

    On peut écrire , avec . Distinguons deux cas :

    Si est bornée, introduisons ; alors est fermé et borné, donc compact. P étant continu, est compact (donc notamment fermé) et converge dans .

    Si n'est pas bornée, alors ; mais , donc ne peut pas converger dans .

    Au final, on a montré que si converge dans , alors elle converge dans P(F), donc P(F) est fermé.

    Voyez-vous une erreur de raisonnement ?

    (Je le répète, si c'est le cas, ne me mettez pas sur la bonne voie )

    Merci d'avance,
    Phys2

    -----
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  2. Publicité
  3. #2
    Thorin

    Re : Image d'un fermé par un polynôme

    Salut,
    lorsque que quelqu'un écrit

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Si n'est pas bornée, alors
    on se demande si ce quelqu'un trouve qu'il est trivial de montrer que dans ce cas précis, non borné implique tendre vers l'infini ; ou si ce quelqu'un pense que dans le cas général, toute suite non bornée tend vers l'infini (ce qui est faux)
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  4. #3
    Seirios

    Re : Image d'un fermé par un polynôme

    En fait, au moment où j'ai écrit ça, je pensais que c'était toujours vrai Bien sûr c'est faux, mais on a , et on peut extraire une sous-suite telle que . A partir de là, il est impossible que converge dans (sinon la sous-suite en ferait de même).

    C'est mieux ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  5. #4
    indian58

    Re : Image d'un fermé par un polynôme

    Ca me fait rappeler qu'il y a pas mal de temps, j'avais posté dans les classiques parmi les classiques ce problème.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Seirios

    Re : Image d'un fermé par un polynôme

    Donc ce que j'ai écrit est bien correct ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  8. #6
    mx6

    Re : Image d'un fermé par un polynôme

    Salut Phys2,

    Il me semble que c'est correct !

  9. Publicité
  10. #7
    Seirios

    Re : Image d'un fermé par un polynôme

    Un petit oubli tout de même : il faut considérer le cas (immédiat) du polynôme constante
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  11. #8
    Clauclo

    Re : Image d'un fermé par un polynôme

    Désolé de déterrer un peu le sujet, mais quelqu'un peut m'expliquer où le fait que F soit fermé intervienne ?

  12. #9
    Seirios

    Re : Image d'un fermé par un polynôme

    Cela intervient pour montrer que : on a , puis en prenant l'adhérence, .
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  13. #10
    Clauclo

    Re : Image d'un fermé par un polynôme

    Merci tout s'explique !

  14. #11
    Snowey

    Re : Image d'un fermé par un polynôme

    Salut Seirios,
    je n'ai pas encore vu la compacité (ça arrive dans 2 jours mais bon ...), en quoi permet elle de conclure le raisonnement ?
    Dans l'exo similaire que j'ai (les fonctions symétriques), je dois montrer que est une application fermée.
    Avant d'avoir vu ton topic, j'avais rédigé comme celà:
    -même début: X partie fermée, convergeant vers .
    Si F est borné ou si l'est, alors via Weierstrass on trouve qui converge vers et alors par continuité, et sachant que la suite admet une unique valeur d'adhérence, converge vers .
    - Le cas non borné est exactement le même (sous suite et contradiction avec ).

    J'en viens à supposer que la compacité implique Weierstrass ou quelque chose dans ce gout là, puisque nos deux approches se ressemblent fortement ! (la tienne étant évidemment mieux). Toute suite d'un compact convergeant converge dans ce compact, car c'est un fermé, mais qu'apport le reste de la définition de compact dans la démo ? Ou alors ton raisonnement est le suivant:
    F fermé + borné--> F compact ---> compact --> fermé ?

    Désolé de te décevoir encore une fois en posant des questions idiotes et d'un niveau faible...
    "... I am the master of my fate, I am the captain of my soul." Henley

  15. #12
    Seirios

    Re : Image d'un fermé par un polynôme

    Dans le cas des espaces vectoriels normés de dimension finie, les définitions suivantes de la compacité sont équivalentes :

    - Tout recouvrement de F par des ouverts admet un sous-recouvrement fini (propriété de Borel-Lebesgue, c'est la définition dans le cadre topologique).
    - F est fermé et borné (cela vient de la compacité locale des evn de dimension finie).
    - Toute suite de F admet une sous-suite convergente (compacité séquentielle, aussi appelée propriété de Bolzano-Weierstrass dans certains contextes).
    - Toute suite de F admet une valeur d'adhérence (ce qui est équivalent à la définition précédente dans tout espace topologique à base dénombrable).

    Dans la preuve, l'intérêt de se ramener au cas compact est simplement de savoir que l'image de ce compact est fermé (puisque compact, par continuité de l'application).
    Dernière modification par Seirios ; 11/11/2012 à 08h50.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  16. Publicité

Discussions similaires

  1. Image d'un fermé par une application continue
    Par SoaD25 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 8
    Dernier message: 16/07/2010, 18h06
  2. Equation de la symétrie d'un polynome par rapport à une droite d'equation ax+b
    Par kywalh dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 0
    Dernier message: 26/03/2009, 08h54
  3. optimisation:image d'un compact par une application continue
    Par Toline dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 01/03/2008, 21h27
  4. image d'un segment par une application continue
    Par ketchupi dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 08/10/2007, 17h53
  5. division euclidienne d'un polynôme par (x-a) qui ne tombe pas juste
    Par Seirios dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 9
    Dernier message: 29/04/2006, 13h12