Bonjour à tous,
Je cherche à montrer que l'image de tout fermé depar un polynôme de
est fermé ; je pense avoir trouver la solution, mais comme je ne veux pas regarder la solution de mon corrigé sans savoir si ce que j'ai fais est correct ou non, j'aimerais avoir confirmation (ou non) de mon raisonnement (mais s'il est faux, ne me mettez pas sur la piste, je chercherai à faire autrement) :
Soient F un fermé de,
(de degré n) et
convergeant dans
.
On peut écrire, avec
. Distinguons deux cas :
Siest bornée, introduisons
; alors
est fermé et borné, donc compact. P étant continu,
est compact (donc notamment fermé) et
converge dans
.
Sin'est pas bornée, alors
; mais
, donc
ne peut pas converger dans
.
Au final, on a montré que siconverge dans
, alors elle converge dans P(F), donc P(F) est fermé.
Voyez-vous une erreur de raisonnement ?
(Je le répète, si c'est le cas, ne me mettez pas sur la bonne voie)
Merci d'avance,
Phys2
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